Modelagem computacional de escoamentos não-isotérmicos em meios porosos utilizando o método de elementos finitos com FEniCSx

Abstract

Este trabalho apresenta uma introdução ao método de elementos finitos, destacando seus conceitos fundamentais e sua aplicação na solução de equações diferenciais parciais (EDPs). São explorados exemplos clássicos, detalhando o desenvolvimento da formulação variacional, a implementação computacional de códigos para obtenção das soluções numéricas e as formas de pós-processamento para sua análise e interpretação. Uma das características do método de elementos finitos (MEF) é dividir o domínio do problema em uma quantidade finita de subdomínios, conhecidos por elementos, gerando assim um domínio discreto. Outro aspecto importante do MEF é trabalhar com a formulação variacional do problema de EDPs, a qual é apresentada neste trabalho utilizando o método de Galerkin contínuo sobre o espaço de Sobolev H1, onde a solução aproximada é contínua entre os elementos. Para problemas que exigem conservação de massa e que envolvem duas funções incógnitas, a formulação variacional é apresentada pelo método misto, em que uma função incógnita pertence ao espaço L2 e a outra ao espaço H(div), por meio de elementos do espaço de Raviart-Thomas para garantir a continuidade dos fluxos normais entre os elementos adjacentes e a conservação de massa global. A implementação computacional é realizada em Python utilizando a biblioteca FEniCSx, que se destaca por automatizar diversas etapas do processo numérico, facilitando a implementação e agilizando a obtenção de resultados. A dissertação aborda a estrutura e o funcionamento desta ferramenta, proporcionando uma visão detalhada sobre sua aplicação prática. Na etapa de pós-processamento, as respostas obtidas são analisadas tanto por meio de representações gráficas ou por tabelas quanto por testes de convergência, que são importantes para garantir a confiabilidade dos resultados e sua coerência com a teoria. A aplicação principal deste trabalho é resolver um problema de transporte passivo da temperatura em meios porosos, modelando a interação entre o escoamento de um fluido e a condutividade térmica. Esta dissertação de Mestrado preocupa-se, também, em manter um nível de detalhamento dos assuntos com o objetivo de se tornar um material didático acessível a pesquisadores e estudantes interessados na introdução e implementação do método de elementos finitos.

This work provides an introduction to the finite element method, highlighting its fundamental concepts and its application in solving partial differential equations (PDEs). Classic examples are explored, detailing the development of the variational formulation, the computational implementation of codes to obtain numerical solutions, and the postprocessing methods for their analysis and interpretation. One of the key characteristics of the finite element method (FEM) is dividing the problem domain into a finite number of subdomains, known as elements, thereby generating a discrete domain. Another important aspect of FEM is working with the variational formulation of the PDE problem, which is presented in this work using the continuous Galerkin method on the Sobolev space H1, where the approximate solution is continuous between elements. For problems requiring mass conservation and involving two unknown functions, the variational formulation is presented through the mixed method, where one unknown function belongs to the L2 space and the other to the H(div) space, using elements from the Raviart-Thomas space to ensure the continuity of normal fluxes between adjacent elements and global mass conservation. The computational implementation is carried out in PythonTM using the FEniCSx library, which stands out for automating various stages of the numerical process, facilitating implementation and speeding up result generation. The dissertation addresses the structure and functioning of this tool, providing a detailed overview of its practical application. In the post-processing phase, the obtained results are analyzed both through graphical representations and tables, as well as convergence tests, which are essential to ensure the reliability of the results and their consistency with theory. The main application of this work is solving a passive temperature transport problem in porous media, modeling the interaction between fluid flow and thermal conductivity. This Master’s dissertation also aims to maintain a level of detail in the topics to serve as an accessible teaching material for researchers and students interested in the introduction and implementation of the finite element method.