A utilização do critério de Slater para a localização de curvas invariantes spanning em uma família de mapeamentos que preservam a área

Neste trabalho discutiremos algumas propriedades dinâmicas para uma família de mapeamentos discretos que preservam a área no espaço de fases, descritos pelas variáveis ação, I, e ângulo, θ. A dinâmica é caracterizada pelo parâmetro de controle ε que ajusta a intensidade da não linearidade e controla a transição de integrabilidade, ε = 0, para não integrabilidade, ε ≠ 0, do sistema. Nós investigamos a localização de curvas invariantes para esta família de mapeamentos Hamiltonianos bidimensionais de acordo com o critério de Slater. O teorema de Slater diz que existem apenas três tempos diferentes de retorno para uma translação em torno de um círculo em um dado intervalo. Os três tempos de recorrência estão relacionados com a expansão em fração contínua usada para a translação e obedecem a sequência de Fibonacci. Nós também analisamos o número de rotação das curvas invariantes spanning e observamos uma estrutura de “devil’s staircase”. O comportamento do número de rotação como uma função das curvas invariantes spanning localizadas pelo critério de Slater resultou em uma expressão da lei de potência em que o expoente é igual ao valor absoluto do parâmetro de controle γ, que controla a velocidade da divergência de θ no limite em que a ação I é suficientemente pequena.

Abstract (english)

In this work we will present some dynamical properties for a family of an area preserving mappings, described by the dynamical variables I and θ. The dynamics is characterized by the control parameter ε that adjusts the nonlinearity intensity and controls the transition from integrability, ε = 0, to non integrability of the system, ε ≠ 0. We investigate the localization of invariant curves for a family of two dimensional Hamiltonian mappings according to Slater criteria. Slater theorem says there are only three different return times for an irrational translation over a circle in a given interval. The returning time, which measures the number of iterations a map needs to return to a given periodic or quasi periodic region, has three responses along an invariant spanning curve and they are related to the continued fraction expansion used to the translation and obey the Fibonacci sequence. We also analyse the rotation number of these curves and they are all related to a noble number, leading to a devil’s staircase structure. The behaviour of the rotation number as a function of invariant spanning curves located by Slater’s criterion resulted in an expression of the power law in which the exponent is equal to the absolute value of the control parameter γ, which controls the speed of the divergence of θ in the limit the action I is sufficiently small.