On the BRST cohomology of Lie superalgebras

Abstract

Nas últimas décadas, houve um interesse expressivo na dualidade entre duas teorias distintas: uma teoria de cordas do Tipo IIB no espaço AdS_5 × S^5, e uma teoria de Yang–Mills supersimétrica com N = 4 em um espaço plano 4-dimensional. No nível de simetrias, o supergrupo de Lie PSU(2,2;4) contém as superisometrias da primeira teoria, enquanto serve de grupo superconforme da segunda. Através da dualidade, é possível comparar as funções de correlação dessas teorias. Olhando para o produto de operadores locais, pode-se perguntar em qual representação o seu produto se transforma. É, então, necessário lidar com os espaços de cohomologia do grupo de simetrias. Nesta dissertação, eu apresento os primeiros passos para se levar a cabo tal estudo. Eu começo definindo a cohomologia de um complexo de cocadeias, as noções de graduação e filtração dos mesmos, e o delineamento da construção de uma sequência espectral advinda de uma filtração. A cohomologia de álgebra de Lie é revisada, com atenção às formulações de Chevalley–Eilenberg e BRST. Em seguida, as superalgebras de Lie são definidas, e a abordagem BRST é reinterpretada através de um isomorfismo entre o complexo de cocadeias de Chevalley–Eilenberg e a álgebra de polinômios em coordenadas fantasmas. As cohomologias em coeficientes triviais das superálgebras de Lie linear geral gl(m;n) e linear especial sl(m;n) são então calculadas em detalhe no formalismo BRST por meio das suas sequências espectrais de Hochschild–Serre.

In the last decades, there was an expressive interest on a duality between two distinct theories: a Type IIB string theory on AdS_5 × S^5 space, and an N = 4 supersymmetric Yang–Mills theory in 4-dimensional flat space. On the level of symmetries, the Lie supergroup PSU(2,2;4) contains the superisometries of the former, while being the superconformal group of the latter. Through the duality, one is capable of comparing correlation functions of those theories. When looking at the product of local operators, one may ask in what representation their product transforms. One then has to deal with the cohomology spaces of the group of symmetries. In this thesis, I present the first steps one might take towards that. I start by defining the cohomology of a cochain complex, the notions of a grading and a filtration on it, and outline the construction of a spectral sequence from a filtration. The Lie algebra cohomology is reviewed, with attention to the Chevalley–Eilenberg and the BRST formulations. Next, Lie superalgebras are defined, and the BRST approach is reinterpreted via an isomorphism between the Chevalley–Eilenberg cochain complex and the algebra of polynomials in ghost coordinates. The cohomologies in trivial coefficients of the general linear gl(m;n) and the special linear sl(m;n) Lie superalgebras are then computed in detail in the BRST formalism through their Hochschild–Serre spectral sequences.