Um estudo introdutório sobre o Teorema do Ponto Fixo de Banach e aplicações

O Teorema do Ponto Fixo de Banach, formulado e demonstrado pelo matemático polonês Stefan Banach, estabelece condições sob as quais uma função contínua de um espaço métrico completo em si mesmo possui pelo menos um ponto fixo, ou seja, um ponto que não é movido pela função. Este trabalho é dedicado a estudar esse teorema de ponto fixo e a explorar a teoria de espaços métricos necessária ao seu entendimento, destacando a interconexão entre essa teoria, o referido teorema e suas aplicações. Temos também como objetivo apresentar a beleza e a aplicabilidade da teoria de espaços métricos a estudantes de graduação em Matemática e/ou entusiastas da área, além de destacar a relevância do teorema em várias áreas do conhecimento. Três aplicações do Teorema do Ponto Fixo de Banach são abordadas: um problema de existência de solução para uma equação não linear em R, a relação entre o teorema e o buscador do Google e a relação entre o teorema e o processo de compressão de imagens.

Abstract (english)

The Banach Fixed Point Theorem, formulated and proved by Polish mathematician Stefan Banach, establishes conditions under which a continuous function of a complete metric space in itself has at least one fixed point, that is, a point that is not moved by the function. This work is dedicated to studying this fixed point theorem and exploring the theory of metric spaces necessary for its understanding, highlighting the interconnection between this theory, the aforementioned theorem and its applications. We also aim to present the beauty and applicability of the theory of metric spaces to undergraduate Mathematics students and/or enthusiasts in the area, in addition to highlighting the relevance of the theorem in various areas of knowledge. Three applications of Banach’s Fixed Point Theorem are addressed: a problem of existence of a solution for a non-linear equation in R, the relationship between the theorem and the Google search engine and the relationship between the theorem and the compression process of images.

Keywords

Espaços métricos, Sequências de Cauchy, Espaços métricos completos, Contração, Teorema do Ponto Fixo de Banach, Metric spaces, Cauchy sequences, Complete metric spaces, Contraction, Banach Fixed-Point Theorem