Shannon mutual information of localized one-particle states in scalar field theory

Abstract

Nesta dissertação, investigamos a informação mútua de Shannon para um campo escalar quântico sem massa livre em d + 1 dimensões, focando nas correlações entre duas regiões espaciais complementares. Nossa abordagem central envolveu o cálculo dessa medida de informação clássica diretamente dos elementos diagonais da matriz densidade expressa na base de configuração do campo. Essa metodologia forneceu um arcabouço para quantificar as correlações clássicas que persistem ou emergem após processos de decoerência quântica ou medição, que efetivamente diagonalizam a matriz densidade do sistema.

Empregamos o formalismo funcional da representação de Schrödinger para calcular as entropias de Shannon associadas às regiões complementares, a partir das quais derivamos a informação mútua. Para lidar com as integrais funcionais, utilizamos tanto a aproximação de ponto de sela quanto o truque das réplicas. Computamos a informação mútua de Shannon para dois casos: o estado de vácuo e estados de partícula-única localizados. Para o estado de vácuo, nossos resultados reproduziram aqueles encontrados na literatura existente. Para estados localizados, descritos por soluções de pacote de ondas da equação de Schrödinger relativística, a informação mútua de Shannon pode ser expressa como a informação mútua do vácuo mais termos dependentes do perfil do pacote de ondas.

Como uma aplicação do formalismo desenvolvido, calculamos a informação mútua de Rényi-2 (também conhecida como entropia de colisão) em uma dimensão espacial, considerando regiões definidas como semirretas e empregando um pacote de ondas lorentziano. Encontramos que a presença de uma excitação geralmente aumenta a informação compartilhada em comparação com o caso do vácuo. Esse excesso de informação é maximizado quando a partícula está localizada próximo à fronteira e diminui à medida que a partícula se afasta, com a taxa de decaimento dependendo da largura do pacote de ondas.

No geral, nossas descobertas contribuem para a compreensão das correlações clássicas em teoria quântica de campos e oferecem uma perspectiva sobre o conteúdo de informação que é diretamente relevante para cenários envolvendo decoerência e medição. Este trabalho fornece um ponto de vista complementar aos cálculos tradicionais de entropia de emaranhamento, concentrando-se na informação clássica acessível codificada nas probabilidades de configuração do campo.

In this dissertation, we investigated the Shannon mutual information for a free quantum massless scalar field in d + 1 dimensions, focusing on the correlations between two complementary spatial regions. Our central approach involved calculating this classical information measure directly from the diagonal elements of the density matrix expressed in the field configuration basis. This methodology provided a framework for quantifying the classical correlations that persist or emerge after quantum decoherence or measurement processes, which effectively diagonalize the system’s density matrix.

We employed the Schrödinger picture functional formalism to compute the Shannon entropies associated with the complementary regions, from which we derived the mutual information. To handle the functional integrals, we utilized both the saddle-point approximation and the replica trick. We computed the Shannon mutual information for two cases: the vacuum state and localized single-particle states. For the vacuum state, our results reproduced those found in the existing literature. For localized states, described by wave packet solutions of the relativistic Schrödinger equation, the Shannon mutual information can be expressed as the vacuum mutual information plus terms dependent on the wave packet profile.

As an application of the developed formalism, we calculated the Rényi-2 mutual information (also known as the collision entropy) in one spatial dimension, considering regions defined as half-lines and employing a Lorentzian wave packet. We found that the presence of an excitation generally increases the shared information compared to the vacuum case. This excess information is maximized when the particle is localized near the boundary and diminished as the particle moves away, with the decay rate depending on the wave packet’s width.

Overall, our findings contribute to the understanding of classical correlations in quantum field theory and offer a perspective on the information content that is directly relevant to scenarios involving decoherence and measurement. This work provides a complementary viewpoint to traditional entanglement entropy calculations by focusing on the accessible, classical information encoded in field configuration probabilities.