Propriedades dinâmicas em um mapeamento bidimensional discreto: aplicações no modelo Fermi-Ulam e no mapa Kepler

Abstract

Fundamentado na teoria de Sistemas Dinâmicos, este trabalho realiza uma investigação aprofundada de um mapeamento bidimensional discreto, descrito nas variáveis ângulo, ação e por parâmetros de controle, cuja variação permite recuperar, como casos particulares, tanto o modelo Fermi-Ulam quanto o Mapa Kepler. A seguir, procede-se à análise da matriz jacobiana associada ao mapeamento, por meio da qual foi determinado o valor crítico do parâmetro $\delta$ que estabelece o regime conservativo, caracterizado por um espaço de fases com estrutura mista, composto por ilhas periódicas envoltas por um mar caótico e delimitadas por curvas invariantes spanning. A partir da mesma formulação, identificaram-se ainda os intervalos de parâmetros que introduzem dissipação no sistema, possibilitando a construção dos correspondentes retratos de fase dissipativos, nos quais emergem atratores caóticos e atratores ponto fixo; o decaimento orbital em direção a tais estruturas foi demonstrado analítica e numericamente. A primeira curva invariante spanning, que delimita a fronteira do mar de caos, foi localizada mediante técnicas analíticas complementadas por procedimentos numéricos de alta resolução. Por fim, os expoentes de Lyapunov foram calculados para diferentes regimes paramétricos, corroborando a presença de caos por meio da obtenção consistente de expoentes positivos. O conjunto desses resultados fornece uma caracterização abrangente da dinâmica do mapeamento proposto, estabelecendo de forma conclusiva a ocorrência e a robustez de comportamentos caóticos na estrutura do sistema.

Grounded in Dynamical Systems theory, this work conducts an in-depth investigation of a discrete two-dimensional mapping described in the angle–action variables and controlled by parameters whose variation allows one to recover, as particular cases, both the Fermi–Ulam model and the Kepler Map. Subsequently, an analysis of the Jacobian matrix associated with the mapping is carried out, through which the critical value of the parameter $\delta$ that establishes the conservative regime was determined. This regime is characterized by a mixed phase-space structure composed of periodic islands embedded in a chaotic sea and bounded by spanning invariant curves. From the same formulation, the parameter intervals that introduce dissipation into the system were also identified, enabling the construction of the corresponding dissipative phase-space portraits, in which chaotic attractors and fixed-point attractors emerge; orbital decay toward such structures was demonstrated analytically and numerically. The first spanning invariant curve, which delineates the boundary of the chaotic sea, was located using analytical techniques complemented by high-resolution numerical procedures. Finally, Lyapunov exponents were computed for different parametric regimes, corroborating the presence of chaos through the consistent observation of positive exponents. Altogether, these results provide a comprehensive characterization of the dynamics of the proposed mapping, conclusively establishing the occurrence and robustness of chaotic behavior in the structure of the system.