Nuances de aspectos teóricos e numéricos do escoamento totalmente desenvolvido em um tubo

Abstract

The fully developed flow of a Newtonian fluid in a circular cross-section tube will be applied to discussions of theoretical solutions and numerical methodologies, based on the finite difference technique. The objective is to present details of obtaining the analytical solution, the numerical methodologies used and the physics involved, in order to disseminate an original didactic-scientific compilation in this area. The flow in deal is modeled by an elliptic partial differential equation subject to a Dirichlet condition at the boundary. The boundary of the tube does not coincide with the computational mesh which is uniform rectangular. Therefore, a linear extrapolation technique will be employed. The resulting linear system is solved by classical Jacobi and Gauss-Seidel methods for comparison. A mesh refinement process demonstrates that the numerical solution converges to the analytical solution with order O(h^3). The relationship between the number of iterations of the Jacobi and Gauss-Seidel methods and the condition number of the matrix of the linear system corroborates that the Jacobi method requires approximately twice as many iterations as the Gauss-Seidel method to converge. Results about the influence of the physical parameters of the model and the relationship between average and maximum velocities are investigated. It is shown, analytically, that the absolute value of the pressure gradient is directly proportional to the velocity, while the characteristics are inversely proportional to this variable, furthermore, the proportionality relationship between the average and maximum flow velocities is theoretically demonstrated and applied for other numerical verifications. En este estudio, se aplicará a discusiones de soluciones teóricas y metodologías numéricas, basadas en la técnica de diferencias finitas, el flujo completamente desarrollado de un fluido newtoniano en un tubo de sección circular. El objetivo es presentar detalles de la obtención de la solución analítica, las metodologías numéricas utilizadas y las físicas involucradas, para difundir una recopilación didáctico-científica original en esta área. El flujo en cuestión se modela mediante una ecuación diferencial parcial elíptica sujeta a una condición de Dirichlet en la frontera. El límite del tubo no coincide con la malla de discretización, que es uniformemente rectangular. Por lo tanto, se empleará una técnica de extrapolación lineal. El sistema lineal resultante se resuelve mediante los métodos clásicos de Jacobi y Gauss-Seidel a modo de comparación. Un proceso de refinamiento de malla demuestra que la solución numérica converge a la analítica con orden O(h^3). La relación entre el número de iteraciones de los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel y el número de condición de la matriz del sistema lineal corrobora que el método de Jacobi requiere aproximadamente el doble de iteraciones que el método de Gauss-Seidel para converger. Se investigan los resultados sobre la influencia de los parámetros físicos del modelo y la relación entre las velocidades de flujo promedio y máxima. Se demuestra, analíticamente, que el valor absoluto del gradiente de presión es directamente proporcional a la velocidad, mientras que la viscosidad es inversamente proporcional a esta cantidad, además, se demuestra teóricamente y se aplica la relación [...]. O escoamento totalmente desenvolvido de um fluido Newtoniano em um tubo de seção transversal circular será aplicado para discussões de soluções teóricas e de metodologias numéricas, baseadas na técnica de diferenças finitas. O objetivo é apresentar detalhes da obtenção da solução analítica, das metodologias numéricas utilizadas e da física envolvida, para disseminar um compilado original didático-científico nessa área. O escoamento em questão é modelado por uma equação diferencial parcial elíptica sujeita a uma condição de Dirichlet na fronteira. A fronteira do tubo não coincide com a malha da discretização que é retangular uniforme. Portanto, uma técnica de extrapolação linear será empregada. O sistema linear resultante é resolvido pelos métodos clássicos de Jacobi e Gauss-Seidel para comparação. Um processo de refinamento da malha demonstra que a solução numérica converge para a analítica com ordem O(h^3). A relação entre a quantidade de iterações dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel e o número de condição da matriz do sistema linear corrobora que o método de Jacobi exige aproximadamente o dobro de iterações que o método de Gauss-Seidel para convergir. Resultados sobre a influência dos parâmetros físicos do modelo e a relação entre velocidades média e máxima do escoamento são averiguados. Mostra-se, analiticamente, que o valor absoluto do gradiente de pressão é diretamente proporcional à velocidade, enquanto a viscosidade é inversamente proporcional à essa grandeza, além disso, a relação de proporcionalidade entre as velocidades média e máxima do escoamento é demonstrada teoricamente e aplicada para outras verificações numéricas.