Reticulados via corpos puros de grau n.

Nesta tese, investigamos os corpos puros de grau n, com ênfase na estrutura de suas bases integrais e nas propriedades geométricas associadas aos reticulados algébricos deles derivados. Inicialmente, retomamos o caso clássico dos corpos puros de grau 2, amplamente estudado na literatura, e avançamos para uma análise detalhada dos casos de grau p primo, apresentando resultados que ampliam e sistematizam o conhecimento existente. No contexto geral dos corpos puros de grau n, também discutimos e contextualizamos resultados previamente obtidos por Jakhar, Khanduja e Sangwan (2021), que determinaram bases integrais para essa classe de extensões. Umas das contribuições deste trabalho consiste na apresentação sistemática e estruturalmente clara das bases integrais desses corpos. Em particular, as expressões obtidas para as bases integrais e as condições de congruência associadas são formuladas de maneira explícita, por meio de parâmetros naturalmente identificados, o que confere maior transparência estrutural às construções e facilita sua aplicação em problemas subsequentes. Além disso, desenvolvemos uma metodologia para o cálculo da densidade de centro de reticulados algébricos obtidos a partir de corpos puros de grau n. Esse constitui o ponto central da tese. Para tal, analisamos diferentes estruturas induzidas por homomorfismos associados às imersões reais, introduzindo uma classificação que contempla seis tipos distintos de homomorfismos. Nesse contexto, propomos ainda um novo conceito, denominado similaridade, que permite estabelecer relações estruturais entre diferentes representações dos reticulados e direciona o estudo para dois casos fundamentais: o homomorfismo canônico e o homomorfismo de Minkowski. Por fim, essas construções são desenvolvidas não apenas no contexto usual, mas também considerando diferentes estruturas de Z-módulos, o que amplia o alcance das técnicas empregadas e fornece uma abordagem unificada para o estudo da densidade de centro de reticulados associados a corpos puros. Dessa forma, a tese contribui tanto para o aprofundamento teórico da Teoria Algébrica dos Números quanto para o entendimento das conexões entre estruturas algébricas e a geometria dos números.

Resumo (inglês)

In this thesis, we investigate pure fields of degree n, with emphasis on the structure of their integral bases and the geometric properties associated with the algebraic lattices derived from them. Initially, we revisit the classical case of pure fields of degree 2, extensively studied in the literature, and advance toward a detailed analysis of cases of prime degree p, presenting results that extend and systematize existing knowledge. In the general context of pure fields of degree n, we also discuss and contextualize results previously obtained by Jakhar, Khanduja, and Sangwan (2021), who determined integral bases for this class of extensions. One contribution of this work consists of the systematic and structurally clear presentation of the integral bases of these fields. In particular, the expressions obtained for the integral bases and the associated congruence conditions are formulated explicitly, through naturally identified parameters, which confers greater structural transparency to the constructions and facilitates their application in subsequent problems. Furthermore, we develop a methodology for computing the center density of algebraic lattices obtained from pure fields of degree n. This constitutes the central point of the thesis. To this end, we analyze different structures induced by homomorphisms associated with real embeddings, introducing a classification that encompasses six distinct types of homomorphisms. In this context, we also propose a new concept, termed similarity, which allows us to establish structural relations between different representations of lattices and directs the study toward two fundamental cases: the canonical homomorphism and the Minkowski homomorphism. Finally, these constructions are developed not only in the usual context but also considering different Z-module structures, which broadens the scope of the techniques employed and provides a unified approach to the study of the center density of lattices associated with pure fields. In this way, the thesis contributes both to the theoretical deepening of Algebraic Number Theory and to the understanding of the connections between algebraic structures and the geometry of numbers.

Palavras-chave

Corpos puros , Reticulados , Homomorfismo canônico , Homomorfismo de Minkowski , Pure fields , Lattices , Canonical homomorphisms , Minkowski homomorphisms

Idioma

Português

Citação

FACINI, Linara Stéfani. Reticulados via corpos puros de grau n. Tese (Doutorado em Matemática) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, São José do Rio Preto, 2026.