Hilbert numbers, invariant algebraic curves and polycycles

Abstract

Nesta tese abordamos a segunda parte do décimo sexto problema de Hilbert, provando que o número de Hilbert é estritamente crescente e realizado por campos de vetores estruturalmente estáveis e sem curvas algébricas invariantes. Obtemos também uma desigualdade relacionando o número de Hilbert com o número de Harnack, além de relacionar o primeiro com curvas algébrica invariantes. Em seguida, provamos que genericamente, tanto do ponto de vista topológico quanto probabilístico, um campo de vetores planar e polinomial não possui curvas algébricas invariantes. Por fim, estudamos a ciclicidade de policiclos de duas maneiras distintas: a quebra sistematizada do policiclo original em policiclos menores, gerando um ciclo limite a cada passo, e na perturbação do policiclo de maneira a mantê-lo persistente, mas alterando sua estabilidade sucessivamente.

In this thesis we study the second part of Hilbert's 16th problem, proving that the Hilbert number is achieved by structurally stable vector fields without invariant algebraic curves. We also obtain a inequality relating the Hilbert and the Harnack numbers, and relate the former with invariant algebraic curves. Moreover, we prove that generically, both from a topological and a probabilistic point of view, a given planar polynomial vector field does not have invariant algebraic curves. Finally, we study the cyclicity of polycycles in a two-folded away: the systematic bifurcation of the polycycle into smaller ones, generating one limit cycle at each step, and by perturbating it in such a way that it remain persistent, but interchanging its stability.