Teoremas de Hahn-Banach e algumas aplicações

Abstract

Esta dissertação tem como tema central os Teoremas de Hahn-Banach e algumas de suas aplicações em Análise Funcional, com ênfase no contexto de espaços vetoriais topológicos e espaços localmente convexos. Inicialmente, são apresentadas diferentes versões do teorema, tanto em sua formulação analítica quanto em sua interpretação geométrica, contemplando casos em espaços vetoriais reais e complexos, espaços normados e espaços localmente convexos. A partir dessas formulações, discutem-se consequências importantes relacionadas à separação de conjuntos convexos, à existência de hiperplanos de suporte e à estrutura de conjuntos convexos compactos, com destaque para o Teorema de Krein Milman. Na parte final do trabalho, desenvolvem-se aplicações à teoria de representação de pontos de conjuntos convexos por meio de medidas de probabilidade, envolvendo resultados do tipo Choquet e o teorema do baricentro, bem como ao problema do momento, com ênfase nos casos clássicos de Hamburger e de Stieltjes e em formulações mais gerais que envolvem operadores lineares positivos. Ao longo do texto, procura-se evidenciar o papel dos Teoremas de Hahn-Banach como princípio fundamental que permite estender funcionais lineares preservando propriedades de dominância e positividade, separar conjuntos convexos por meio de funcionais lineares contínuos e estabelecer representações por medidas, ressaltando sua importância estrutural na Análise Funcional e suas conexões com a teoria da convexidade, da medida e dos operadores lineares. Nesse sentido, o trabalho também contribui para o fortalecimento da formação matemática voltada à docência e à pesquisa, especialmente no contexto do ensino superior.

This dissertation focuses on the Hahn-Banach Theorems and some of their applications in Functional Analysis, with emphasis on the context of topological vector spaces and locally convex spaces. Initially, different versions of the theorem are presented, both in their analytic formulation and in their geometric interpretation, including cases in real and complex vector spaces, normed spaces, and locally convex spaces. From these formulations, important consequences are discussed concerning the separation of convex sets, the existence of supporting hyperplanes, and the structure of compact convex sets, with particular emphasis on the Krein-Milman Theorem. In the final part of the work, applications are developed to the representation theory of points of convex sets through probability measures, involving Choquet-type results and the barycenter theorem, as well as to the moment problem, with emphasis on the classical cases of the Hamburger and Stieltjes moment problems and on more general formulations involving positive linear operators. Throughout the text, the Hahn-Banach Theorems are highlighted as a fundamental principle that allows the extension of linear functionals while preserving domination and positivity properties, the separation of convex sets by means of continuous linear functionals, and the construction of representations by measures, emphasizing their structural importance in Functional Analysis and their connections with convexity theory, measure theory, and the theory of linear operators. In this sense, the work also contributes to strengthening mathematical training oriented toward teaching and research, particularly in the context of higher education.