Elicitação de Priori derivada da Aproximação de Laplace

Abstract

Este trabalho apresentou a aplicação de uma metodologia para estimar os hiperparâmetros de uma distribuição a priori, elicitada com base em um sistema de quantis derivado do método de Laplace. Amplamente utilizado na estatística Bayesiana antes do MCMC, o método de Laplace era empregado para calcular distribuições marginais a posteriori. Neste trabalho, o método de Laplace foi utilizado para ajustar os hiperparâmetros da distribuição a priori de uma distribuição Gumbel, enquanto o algoritmo MCMC foi aplicado para obter amostras das distribuições marginais a posteriori. Três distribuições a priori foram consideradas: a de Jeffreys, derivada da informação de Fisher; a distribuição Flat, caracterizada por sua grande variância; e a distribuição elicitada, desenvolvida a partir da metodologia apresentada. Os resultados das distribuições posteriores, obtidos por meio do MCMC, evidenciaram que a priori elicitada resultou em estimadores com menor viés e menor erro quadrático médio (EQM) em relação às demais. Embora o processo de elicitação tenha demandado o uso de métodos numéricos avançados, dada a complexidade do sistema de quantis, os resultados demonstram que a abordagem baseada no método de Laplace é eficiente e apresenta grande potencial para a elicitação de distribuições a priori na estatística Bayesiana.

This study presented the application of a methodology to estimate the hyperparameters of a prior distribution, elicited based on a quantile system derived from Laplace's method. Widely used in Bayesian statistics prior to the advent of MCMC, Laplace's method was employed to compute posterior marginal distributions. In this work, Laplace's method was utilized to adjust the hyperparameters of the prior distribution of a Gumbel distribution, while the MCMC algorithm was applied to obtain samples from the posterior marginal distributions. Three prior distributions were considered: Je reys', derived from Fisher information; the Flat distribution, characterized by its large variance; and the elicited distribution, developed based on the proposed methodology. The results of the posterior distributions obtained through MCMC showed that the elicited prior produced estimators with lower bias and mean squared error (MSE) compared to the others. Although the elicitation process required the use of advanced numerical methods due to the complexity of the quantile system, the results demonstrate that the approach based on Laplace's method is e cient and holds signi cant potential for the elicitation of prior distributions in Bayesian statistics.