On the versatility of the Ising model and its applications

Abstract

This work addresses Ising-type models, originating from Wilhelm Lenz's initial contributions in 1920 and formalized by Ernst Ising in his 1924 doctoral thesis, where he described the behavior of ferromagnetic materials. These models were developed to represent interactions between nearest-neighbor spins in a linear chain, forming a simplified yet rich system for describing significant physical phenomena. The solutions to these models allow for the calculation of various thermodynamic properties of the system under study, providing clear insight into system behavior during phase transitions. Despite its simplicity, Ising initially considered the model a “toy” and abandoned its use, with its applications taking years to be fully explored. Today, Ising-type models transcend the bounds of physics, with interdisciplinary applications in fields such as economics, biology, medicine, and even in predicting electoral outcomes. This monograph aims to review and discuss these applications, based on a comprehensive physical and mathematical analysis of the 1-D Ising model to highlight the versatility of these models. To this end, solutions to the 1-D Ising model will be presented, along with an approach to the compressible-cell model. This in-depth understanding will enable a more critical analysis of the applications of these models in various contexts, from predicting critical phenomena in physical systems to understanding complex biological processes. Throughout this work, cases of Ising model applications in diverse areas, such as supercooled water and Mott metal-to-insulator transitions, will be examined. Through this analysis, the study will demonstrate how the Ising model, initially conceived as a simple tool in physics, has become essential in various scientific and social disciplines, underscoring its remarkable versatility and contemporary relevance.

O presente trabalho aborda modelos do tipo Ising, originados a partir das contribuições iniciais de Wilhelm Lenz em 1920 e formalizados por Ernst Ising em sua tese de doutorado de 1924, na qual ele descreveu o comportamento de materiais ferromagnéticos. Estes modelos foram concebidos para representar as interações entre primeiros vizinhos em uma cadeia linear de spins, constituindo um sistema simplificado, porém rico na descrição de fenômenos físicos relevantes. A solução desses modelos permite o cálculo de diversas grandezas termodinâmicas do sistema em estudo, possibilitando uma compreensão clara do comportamento do sistema na proximidade da região de transições de fase. Apesar de sua simplicidade, Ising inicialmente considerou o modelo um ``brinquedo" e abandonou sua utilização. Suas aplicações, porém, levaram anos para serem plenamente exploradas. Hoje, os modelos do tipo Ising transcendem os limites da física, com aplicações interdisciplinares em áreas como economia, biologia, medicina e até na previsão de resultados eleitorais. Esta monografia tem como objetivo revisar e discutir aplicações, fundamentando-se em uma revisão física e matemática abrangente do modelo 1-D para evidenciar a versatilidade desses modelos. Para alcançar esse objetivo, serão apresentadas soluções do modelo Ising em 1-D, além de uma sutil abordagem do modelo da célula compressiva. Esse entendimento aprofundado permitirá uma análise mais criteriosa das aplicações dos modelos em diferentes contextos, desde a predição de fenômenos críticos em sistemas físicos até a compreensão de fenômenos biológicos complexos. Ao longo deste trabalho, serão examinados casos de aplicação dos modelos do tipo Ising em diversas áreas, como no estudo da água super-resfriada e nas transições de Mott de metal para isolante. Através dessa análise, será possível evidenciar como o modelo Ising, inicialmente concebido como ferramenta simples na física, torna-se fundamental em diversas disciplinas científicas e sociais, demonstrando sua notável versatilidade e relevância contemporânea.