Teorias de calibre no formalismo de Utiyama

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo sistemático das teorias de calibre com base no formalismo de Ryoyu Utiyama. Inicialmente, revisamos as transformações infinitesimais e a teoria de grupos de Lie, estabelecendo os fundamentos para a construção de densidades Lagrangianas invariantes sob simetrias locais. A partir da promoção de simetrias globais a locais, introduzimos os campos de calibre, o tensor intensidade de campo e analisamos as correntes conservadas via teorema de Noether, reproduzindo explicitamente o caso não abeliano, incluindo o grupo de Lorentz.

Em seguida, estendemos o formalismo ao caso de quase-invariância, permitindo deduzir uma relação de recorrência que conduz naturalmente a termos identificados como polinômios de Chern–Simons em dimensões ímpares. Apresentamos a construção em (2+1) e (4+1) dimensões e indicamos sua generalização para (2N+1), destacando o uso de ferramentas computacionais como o CADABRA para viabilizar cálculos em dimensões superiores.

Por fim, aplicamos o método ao grupo de de Sitter e mostramos que, no limite (R → ∞), recupera-se o grupo de Poincaré por contração, reproduzindo os resultados obtidos por Tom Kibble. Dessa forma, evidenciamos que o formalismo de Utiyama fornece um quadro unificado para teorias de calibre internas e espaço-temporais, além de abrir perspectivas para generalizações em dimensões mais altas e possíveis esquemas de unificação das interações fundamentais.

This work presents a systematic study of gauge theories based on the formalism of Ryoyu Utiyama. Initially, we review infinitesimal transformations and Lie group theory, establishing the foundations for the construction of Lagrangian densities invariant under local symmetries. By promoting global symmetries to local ones, we introduce the gauge fields, the field strength tensor, and analyze the conserved currents through Noether’s theorem, explicitly reproducing the non-Abelian case, including the Lorentz group.

Then, we extend the formalism to the case of quasi-invariance, allowing us to deduce a recurrence relation that naturally leads to terms identified as Chern–Simons polynomials in odd dimensions. We present the construction in (2+1) and (4+1) dimensions and indicate its generalization to (2N+1), highlighting the use of computational tools such as CADABRA to make calculations in higher dimensions feasible.

Finally, we apply the method to the de Sitter group and show that, in the limit (R → ∞), the Poincaré group is recovered through contraction, reproducing the results obtained by Tom Kibble. In this way, we demonstrate that the Utiyama formalism provides a unified framework for both internal and spacetime gauge theories, while also opening perspectives for generalizations to higher dimensions and possible schemes for the unification of fundamental interactions.