Aplicação de redes neurais informadas por física na equação de Burgers

Abstract

A equação de Burgers desempenha um papel fundamental no estudo de fenômenos envolvendo advecção não linear e difusão viscosa, constituindo-se como um importante protótipo para a análise de métodos numéricos e modelos de aprendizado profundo aplicados à solução de equações diferenciais parciais. Neste trabalho, a equação de Burgers unidimensional foi resolvida por três abordagens distintas: a solução analítica via transformação de Cole–Hopf, a solução numérica obtida pelo método semi-explícito de Crank–Nicolson e a solução aproximada produzida por meio de redes neurais informadas pela física (Physics-Informed Neural Networks — PINNs). A solução analítica foi utilizada como referência para a avaliação das demais metodologias. Os resultados mostraram que o método numérico apresenta um bom desempenho global porém, com discrepâncias localizadas na região de gradiente acentuado, decorrentes especialmente do tratamento explícito da parcela advectiva. Em contraste, a PINN apresentou excelente concordância com a solução analítica, mantendo baixos níveis de erro absoluto, uma distribuição estatística concentrada e estabilidade temporal, mesmo em regiões de forte não linearidade. A análise comparativa evidenciou o potencial das PINNs como uma alternativa moderna e eficaz para a solução de equações diferenciais, sobretudo em problemas em que a precisão local desempenha um papel relevante.

The Burgers’ equation plays a fundamental role in the study of phenomena involving nonlinear advection and viscous diffusion, serving as an important prototype for evaluating numerical methods and deep learning models applied to partial differential equations. In this work, the one-dimensional Burgers’ equation was solved using three distinct approaches: the analytical solution obtained through the Cole–Hopf transformation, the numerical solution computed with a semi-explicit Crank–Nicolson scheme, and the approximate solution generated by Physics-Informed Neural Networks (PINNs). The analytical solution was adopted as the reference for assessing the performance of the other methods. The results showed that the numerical method achieves good global performance, although localized discrepancies arise near the steep gradient region, mainly due to the explicit treatment of the advective term. In contrast, the PINN solution exhibited excellent agreement with the analytical reference, maintaining low absolute errors, highly concentrated statistical distributions, and temporal stability even in regions governed by strong nonlinear behavior. The comparative analysis highlights the potential of PINNs as a modern and effective alternative for solving differential equations, particularly in problems where local accuracy plays a crucial role.