Teoria dos centros e ciclicidade de pontos de Hopf para campos de vetores planares e tridimensionais

Abstract

Neste trabalho, estudamos o Problema do Centro-Foco para sistemas planares e sua extensão para sistemas tridimensionais apresentando alguns dos resultados mais recentes da literatura. Nosso enfoque envolve duas abordagens principais: o estudo da aplicação de Poincaré e o Segundo Método de Lyapunov. Destes métodos, surgem dois conjuntos de expressões algébricas denominadas coeficientes de Lyapunov e coeficientes focais. Mostramos a equivalência existente entre estes coeficientes e sua relação com outro importante problema da Teoria Qualitativa das E.D.O.: a bifurcação de ciclos limite a partir de um ponto de Hopf. Além disso, apresentamos o Método da Paralelização, utilizado para obter os coeficientes focais de modo eficiente, e ao final do texto, discutimos alguns exemplos que ilustram os resultados.

In this work, we study the Center-Focus Problem for planar systems and its extension to three-dimensional systems presenting some of the most recent results in the literature. We focus on two approaches: the study of the Poincaré map and Lyapunov’s Second Method. These methods give rise to two sets of algebraic expressions, namely: Lyapunov coefficients and focal coefficients. We show that there is an equivalence between these coefficients and their relation to another important problem in the QualitativeTheory of ODEs: the bifurcation of limit cycles from a Hopf singularity. Moreover, we present the Paralelization Method, used to obtain the focal coefficients in an efficient way, and in the end of the text, we discuss some examples illustrating the results.