The Lyra-Schwarzschild spacetime and free particle motion

Abstract

Este trabalho apresenta um estudo abrangente da solução esfericamente simétrica mais geral no âmbito da gravidade escalar–tensorial baseada na geometria de Lyra (LyST). Essa formulação estende a estrutura geométrica da relatividade geral ao introduzir, além do tensor métrico, uma função de escala que modifica a conexão afim e outras quantidades geométricas fundamentais. Ao definir um volume invariante consistente e uma ação gravitacional, constrói-se um princípio variacional que conduz a equações de campo generalizadas compatíveis com as simetrias da teoria. A partir dessas equações, demonstra-se uma versão do teorema de Birkhoff, garantindo que a solução seja estática e possa ser descrita por um potencial efetivo caracterizado por uma “massa geométrica” e por uma constante de integração associada à escala de Lyra, denominada raio de Lyra. As trajetórias de partículas e fótons são analisadas por meio do formalismo de Hamilton–Jacobi, incluindo órbitas circulares, precessão do periélio, entre outros aspectos. Além disso, discutem-se os efeitos de desvio gravitacional para o vermelho, bem como uma transformação de coordenadas que relaciona explicitamente esse espaço-tempo à métrica clássica de Schwarzschild, fornecendo novas perspectivas sobre as implicações físicas da geometria de Lyra.

This work presents a comprehensive study of the most general spherically symmetric solution within the scalar–tensor gravity framework based on Lyra geometry (LyST). This formulation extends the geometric structure of general relativity by introducing, alongside the metric tensor, a scale function that modifies the affine connection and other fundamental geometric quantities. By defining a consistent invariant volume and gravitational action, a variational principle is constructed, leading to generalized field equations compatible with the symmetries of the theory. From these equations, a version of Birkhoff’s theorem is demonstrated, ensuring that the solution is static and can be described by an effective potential characterized by a “geometric mass” and an integration constant associated with the Lyra scale, referred to as the Lyra radius. Particle and photon trajectories are analyzed using the Hamilton–Jacobi formalism, including circular orbits, perihelion precession, etc. Additionally, gravitational redshift effects are discussed, along with a coordinate transformation that explicitly relates this spacetime to the classical Schwarzschild metric, providing new insights into the physical implications of Lyra geometry.