Teorias gerais de isolantes topológicos: um estudo teórico

Abstract

Motivada pelos avanços recentes na área de materiais quânticos, esta dissertação apresenta um estudo teórico dos principais fundamentos físicos e matemáticos dos isolantes topológicos. Inicialmente, são revisados conceitos essenciais da física do estado sólido, como estrutura de bandas, teorema de Bloch, zona de Brillouin e simetria de reversão temporal, indispensáveis à compreensão das propriedades eletrônicas desses materiais. Em seguida, discutem-se diferentes manifestações do efeito Hall — clássico, quântico inteiro, anômalo e quântico de spin — como etapas conceituais relevantes para a compreensão da emergência de fases topológicas da matéria. O trabalho dedica especial atenção à teoria topológica de bandas, com ênfase em grandezas geométricas e invariantes topológicos, como a fase e a curvatura de Berry, o número de Chern e o invariante Z_2, bem como à correspondência bulk-boundary e à robustez dos estados de borda. Por fim, são revisados elementos da teoria topológica de campos e modelos teóricos empregados na descrição de isolantes topológicos bidimensionais e tridimensionais. Desse modo, a dissertação oferece uma síntese teórica sistematizada dos fundamentos que descrevem as propriedades eletrônicas e topológicas desses materiais.

Motivated by recent advances in the field of quantum materials, this dissertation presents a theoretical study of the main physical and mathematical foundations of topological insulators. First, essential concepts of solid-state physics are reviewed, including band structure, Bloch’s theorem, the Brillouin zone, and time-reversal symmetry, all of which are indispensable for understanding the electronic properties of these materials. Different manifestations of the Hall effect — classical, integer quantum, anomalous, and quantum spin Hall — are then discussed as relevant conceptual steps toward understanding the emergence of topological phases of matter. Special attention is given to topological band theory, with emphasis on geometric quantities and topological invariants such as the Berry phase and Berry curvature, the Chern number, and the Z_2 invariant, as well as on the bulk-boundary correspondence and the robustness of edge states. Finally, elements of topological field theory and theoretical models employed in the description of two-dimensional and threedimensional topological insulators are reviewed. In this way, the dissertation provides a systematic theoretical synthesis of the foundations underlying the electronic and topological properties of these materials.