Uma nova abordagem para hierarquias integráveis: construções, classificações e novos modelos

Abstract

Apresentamos uma decomposição de Riemann-Hilbert-Birkhoff generalizada que expande o formalismo usual de hierarquias integráveis em dois sentidos: permite que potências inteiras das componentes das matrizes de Lax nas equações de fluxos sejam aumentadas em comparação aos modelos convencionais e incorpora soluções de vácuo constante não nulo.

Dois parâmentros adicionais controlam essas características. O primeiro determina o grau de um elemento semi-simples que, dada uma álgebra de Kac-Moody graduada, define a estrutura algébrica da construção. O segundo parâmetro distingue entre configurações de vácuo nulo e vácuo constante não nulo. Além disso, uma ambiguidade na definição da componente de grau zero das matrizes de dressing introduz um terceiro parâmetro que permite a identificação de modelos integráveis equivalentes por meio de transformações de gauge.

As escolhas tanto da estrutura algébrica quanto dos valores desses parâmetros permitem uma classificação imediata dos modelos. Para vários valores desses parâmetros, construímos e analisamos modelos integráveis equivalentes e suas soluções, demonstrando a ampla aplicabilidade do formalismo estendido.

We present a generalized Riemann-Hilbert-Birkhoff decomposition that expands the usual formalism of integrable hierarchies in two ways: it allows integer powers of the matrix components of Lax in the flow equations to be increased compared to conventional models and it incorporates non-zero constant vacuum solutions. Two additional parameters control these characteristics. The first determines the degree of a semi-simple element that, given a graded Kac-Moody algebra, defines the algebraic structure of the construction. The second parameter distinguishes between zero vacuum and non-zero constant vacuum configurations. Furthermore, an ambiguity in the definition of the zero-degree component of the dressing matrices introduces a third parameter that allows the identification of equivalent integrable models by means of gauge transformations. The choices of both the algebraic structure and the values of these parameters allow an immediate classification of the models. For several values of these parameters, we construct and analyze equivalent integrable models and their solutions, demonstrating the wide applicability of the extended formalism