On the synchronization of two metronomes and their related dynamics

Abstract

Nesta tese são investigadas, teórica e experimentalmente, a sincronização em fase e a sincronização em anti-fase de dois metrônomos oscilando sobre uma base móvel, a partir de um modelo aqui proposto. Uma descrição do funcionamento do mecanismo de escapamento dos metrônomos é feita, junto a um estudo da relação entre este e o oscilador de van der Pol. Também uma aproximação experimental do valor do amortecimento do metrônomo é fornecida. A frequência instantânea das respostas, numérica e experimental, do sistema é usada na analise. A diferença de outros trabalhos prévios, os dados experimentais têm sido adquiridos usando vídeos dos experimentos e extraídos com ajuda do software Tracker. Para investigar a relação entre as condições iniciais do sistema e seu estado final de sincronização, foram usados mapas bidimensionais chamados ‘basins of attraction’. A relação entre o modelo proposto e um modelo prévio também é mostrada. Encontrou-se que os parâmetros relevantes em relação a ambos os tipos de sincronização são a razão entre a massa do metrônomo e a massa da base, e o amortecimento do sistema. Tem-se encontrado, tanto experimental quanto teoricamente, que a frequência de oscilação dos metrônomos aumenta quando o sistema sincroniza-se em fase, e se mantém a mesma de um metrônomo isolado quando o sistema sincroniza-se em anti-fase. A partir de simulações numéricas encontrou-se que, em geral, incrementos no amortecimento do sistema levam ao sistema se sincronizar mais em fase do que em anti-fase. Adicionalmente se encontrou que, para dado valor de amortecimento, diminuir a massa da base leva a uma situação em que a sincronização em anti-fase é mais comum do que a sincronização em fase.

This thesis concerns a theoretical and experimental investigation into the synchronization of two coupled metronomes. A simplified model is proposed to study in-phase and anti-phase synchronization of two metronomes oscillating on a mobile base. A description of the escapement mechanism driving metronomes is given and its relationship with the van der Pol oscillator is discussed. Also an experimental value for the damping in the metronome is determined. The instantaneous frequency of the responses from both numerical and experimental data is used in the analysis. Unlike previous studies, measurements are made using videos and the time domain responses of the metronomes extracted by means of tracker software. Basins of attraction are used to investigate the relationship between initial conditions, parameters and both final synchronization states. The relationship between the model and a previous pendulum model is also shown. The key parameters concerning both kind of synchronization have been found to be the mass ratio between the metronome mass and the base mass, and the damping in the system. It has been shown, both theoretically and experimentally, that the frequency of oscillation of the metronomes increases when the system reaches in-phase synchronization, and is the same as an isolated metronome when the system synchronizes in anti-phase. From numerical simulations, it has been found that, in general, increasing damping leads the system to synchronize more in-phase than in anti-phase. It has also been found that, for a given damping value, decreasing the mass of the base results in the situation where anti-phase synchronization is more common than in-phase synchronization.