Um princípio do máximo assintótico e uma condição de qualificação associada para controle ótimo com restrições mistas

Abstract

As tradicionais condições necessárias de otimalidade fornecidas pelo Princípio do Máximo de Pontryagin podem não ser válidas em alguns problemas de controle ótimo com restrições mistas, mesmo em aplicações simples. Para lidar com isso, neste trabalho propomos um novo conjunto de condições necessárias de otimalidade de primeira ordem, do tipo sequencial, para problemas de controle ótimo que podem envolver funções de custo não suaves, campos vetoriais não suaves e restrições mistas de estado e de controle na forma de igualdades e desigualdades. Denominamos tal conjunto de Princípio do Máximo Fraco Assintótico. Como uma segunda contribuição, apresentamos uma variante adequada do método de Lagrangiano aumentado clássico capaz de gerar sequências que satisfazem essas condições e discutimos suas propriedades de convergência em relação à otimalidade e factibilidade. Para demonstrar a viabilidade prática do algoritmo proposto, fornecemos alguns resultados numéricos. Como terceira e última contribuição, estudamos situações mínimas sobre as quais o princípio do máximo fraco assintótico implica no princípio do máximo fraco clássico e derivamos uma nova condição de qualificação.

The traditional necessary optimality conditions provided by Pontryagin's Maximum Principle may not hold in some optimal control problems with mixed constraints, even in simple applications. To address this, we propose a new set of first-order necessary optimality conditions, of sequential type, for optimal control problems that may involve non-smooth cost functions, non-smooth vector fields, and state and control mixed constraints in the form of equalities and inequalities. We call such a set of necessary optimality conditions as the Asymptotic Weak Maximum Principle. As a second contribution, we present a suitable variant of the classical augmented Lagrangian method capable of generating sequences that satisfy these conditions and discuss its convergence properties concerning optimality and feasibility. To demonstrate the practical viability of the proposed algorithm, we provide some numerical results. As a third and final contribution, we study minimal situations under which the asymptotic weak maximum principle implies the classical weak maximum principle, and we derive a new constraint qualification.