Reciprocidade quadrática e algumas aplicações com o uso do software SageMath

Abstract

Esta dissertação aborda conceitos fundamentais da teoria dos números, com foco em congruências lineares, resíduos quadráticos e, especialmente, na Lei da Reciprocidade Quadrática. No trabalho, são apresentadas três diferentes demonstrações para a Lei da Reciprocidade Quadrática: a primeira utilizando o lema de Eisenstein, a segunda baseada em raízes da unidade e a terceira empregando a teoria dos grupos. Essas abordagens proporcionam uma visão abrangente da reciprocidade quadrática e suas diversas perspectivas teóricas. Além disso, a dissertação explora aplicações desses conceitos em áreas como criptografia, teoria dos grafos e teoria dos códigos, demonstrando a relevância prática da teoria dos números. Exemplos incluem a aplicação da reciprocidade quadrática no Sistema Criptográfico de Rabin e em códigos cíclicos, com algumas implementações feitas no software livre SageMath.

This dissertation addresses fundamental concepts of number theory, focusing on linear congruences, quadratic residues, and especially the Quadratic Reciprocity Law. The work presents three different proofs of the Quadratic Reciprocity Law: the first using Eisenstein's lemma, the second based on roots of unity, and the third employing group theory. These approaches provide a comprehensive view of quadratic reciprocity and its various theoretical perspectives. Additionally, the dissertation explores applications of these concepts in areas such as cryptography, graph theory, and coding theory, demonstrating the practical relevance of number theory. Examples include the application of quadratic reciprocity in the Rabin Cryptosystem and cyclic codes, with some implementations made in the free software SageMath.