Dinâmica não linear do pêndulo elástico: análise do caso ideal via mapeamento de Poincaré e do sistema real por técnicas de visão computacional

Abstract

Este trabalho apresenta uma caracterização do pêndulo elástico, empregando uma metodologia abrangente que busca integrar análises teóricas e experimentais. O objetivo central é estabelecer um paralelo entre as previsões do modelo e as observações empíricas, compreendendo as complexidades inerentes a este sistema físico. Na esfera teórica, a investigação inicia-se com a derivação das equações de movimento a partir dos princípios da mecânica Hamiltoniana, utilizando tanto coordenadas polares quanto cartesianas para uma descrição completa do sistema. A análise numérica subsequente envolve a adimensionalização dessas equações, ao introduzir um parâmetro de controle que quantifica a relação entre as frequências do pêndulo simples e massa-mola. Através de simulações computacionais é feita a análise das trajetórias. As visualizações obtidas por meio das seções de Poincaré permitem visualizar os comportamentos simulados, desde oscilações periódicas até estados caóticos, e o retorno à periodicidade para diferentes parâmetros. Essas seções permitem mapear as regiões de estabilidade e as áreas de comportamento imprevisível no espaço de fase. Paralelamente, a abordagem experimental consistiu no design e na construção de um aparato físico para a observação direta do movimento do pêndulo elástico. Um sistema de visão computacional foi desenvolvido, empregando a biblioteca OpenCV e o algoritmo de rastreamento CSRT, para capturar e analisar a trajetória do pêndulo a partir de gravações de vídeo. Os experimentos foram conduzidos com dois tipos de materiais elásticos: uma mola helicoidal e um elástico de escritório. Para futuras investigações, a teoria pode partir para a consideração de termos dissipativos, como a resistência do ar e o atrito interno da mola, que são observados experimentalmente. Além disso, a expansão do modelo para três dimensões para uma melhor conexão com a realidade. No que tange ao experimento, a otimização do design do acoplamento entre a massa e a mola é fundamental para reduzir torques indesejados que podem induzir movimentos tridimensionais, garantindo que as observações experimentais se aproximem mais das condições ideais do modelo teórico.

This work presents a characterization of the elastic pendulum using a comprehensive methodology that integrates theoretical and experimental analyses. The primary objective is to establish a parallel between model predictions and empirical observations, addressing the inherent complexities of this physical system. Within the theoretical framework, the investigation begins with deriving equations of motion from Hamiltonian mechanics principles, utilizing both polar and Cartesian coordinates for a complete system description. Subsequent numerical analysis involves non-dimensionalizing these equations, introducing a control parameter that quantifies the relationship between the natural frequencies of the simple pendulum and mass-spring subsystems. Trajectory analysis is conducted through computational simulations. Visualizations obtained via Poincaré sections reveal simulated behaviors ranging from periodic oscillations to chaotic states and the return to periodicity under varying parameters. These sections enable mapping of stability regions and unpredictable behavior zones in phase space. Concurrently, the experimental approach involved designing and constructing a physical apparatus for direct observation of the elastic pendulum’s motion. A computer vision system was developed using the OpenCV library and CSRT tracking algorithm to capture and analyze pendulum trajectories from video recordings. Experiments employed two elastic materials: a helical spring and an office rubber band. For future investigations, theoretical work could incorporate dissipative terms (e.g., air resistance and internal spring friction) observed experimentally. Additionally, expanding the model to three dimensions would enhance real-world relevance. Regarding experimentation, optimizing the mass-spring coupling design is essential to reduce unwanted torques that induce three-dimensional motion, ensuring experimental observations better approximate the theoretical model’s ideal conditions.