Convergência de órbitas para o estado estacionário em mapas bidimensionais discretos

Abstract

Neste trabalho, será considerada uma família de mapeamentos não lineares bidimensionais descritos em termos das variáveis de ação e ângulo. O mapeamento é parametrizado por um parâmetro de controle, que regula a intensidade da não linearidade; por um parâmetro que determina o grau de dissipação; e por um expoente dinâmico. Para determinadas escolhas desses parâmetros, bem como da nomeação das variáveis de ação e ângulo, é possível recuperar diferentes mapeamentos já conhecidos na literatura. Nosso principal objetivo de pesquisa será analisar a convergência das órbitas para o estado estacionário por meio de uma descrição fenomenológica robusta da abordagem de escalonamento nas bifurcações, o que nos permitirá obter um conjunto de expoentes críticos que definem classes de universalidade para bifurcações. Avançaremos nos estudos utilizando expoentes de Lyapunov para caracterizar o caos e investigaremos com cuidado o fenômeno conhecido como crise de fronteira, a fim de analisar o cruzamento entre variedades estáveis e instáveis.

A family of two-dimensional nonlinear mappings described in the action and angle variables will be considered. The mapping is parameterized by a control parameter that controls the intensity of nonlinearity, by a parameter controlling the amount of dissipation, and by a dynamical exponent such that for certain choices of its values and naming the action and angle variables, we will recover different mappings known in the literature. Our main research focus will be to analyze the convergence of orbits to the steady state through a robust phenomenological description of the scaling approach at bifurcation, which will lead us to obtain a set of critical exponents that define universality classes of bifurcations. We will advance our studies using Lyapunov exponents to characterize chaos and carefully investigate the phenomenon known as boundary crises to analyze the crossing of stable and unstable manifolds.