Equações diferenciais fracionárias: teoria e aplicações

Neste trabalho, apresenta-se uma introdução ao cálculo fracionário, destacando-se conceitos e ferramentas fundamentais para o estudo de equações diferenciais. Inicialmente, são abordadas funções importantes dessa teoria, como as funções Gama, Beta e de Mittag-Leffler, além da Transformada de Laplace. Em seguida, introduzem-se a integral fracionária de Riemann-Liouville e as derivadas fracionárias de Riemann-Liouville e de Caputo, com ênfase em suas propriedades, diferenças conceituais e exemplos ilustrativos. Na sequência, estudam-se problemas de valor inicial associados a equações diferenciais fracionárias, com ênfase em resultados de existência e unicidade de soluções, envolvendo as derivadas de Riemann-Liouville e de Caputo, bem como na dependência contínua em relação aos dados iniciais para o caso da derivada de Caputo. Por fim, são apresentadas aplicações envolvendo a equação logística e o modelo presa-predador de Lotka-Volterra, com opropósito de comparar os modelos clássicos e fracionários, evidenciando a relevância dessa abordagem na modelagem de fenômenos que incorporam efeitos de memória.

Resumo (inglês)

In this thesis, an introduction to fractional calculus is presented, highlighting fundamental concepts and tools for the study of differential equations. Initially, important functions of this theory are addressed, such as the Gamma, Beta, and Mittag-Leffler functions, as well as the Laplace transform. Next, the Riemann–Liouville fractional integral and the Riemann–Liouville and Caputo fractional derivatives are introduced, with emphasis on their properties, conceptual differences, and illustrative examples. Subsequently, initial value problems associated with fractional differential equations are studied, with emphasis on existence and uniqueness of solutions involving Riemann–Liouville and Caputo derivatives, as well as continuous dependence on initial data in the case of the Caputo derivative. Finally, applications involving the logistic equation and the Lotka–Volterra predator–prey model are presented, with the purpose of comparing classical and fractional models, highlighting the relevance of this approach in modeling phenomena that incorporate memory effects.