Ciclos limite e suas configurações em Campos de Vetores Polinomiais Planares

Abstract

Estudamos dois critérios sobre a não existência ou existência e unicidade de ciclos limites para campos vetoriais planares. Aplicamos esses critérios em algumas famílias de campos vetoriais quadráticos e cúbicos, além de estudarmos uma fórmula explícita para o número de ciclos limites que bifurcam do centro linear x’=-y, y’=x, quando o perturbamos com um campo vetorial polinomial arbitrário de grau n tendo a origem como um ponto singular. Usando o segundo critério, exibimos a configuração dos ciclos limites que bifurcam deste centro. Por fim, apresentamos uma segunda aplicação do segundo critério, onde mostramos que toda configuração finita de curvas fechadas simples do plano é topologicamente realizável como um conjunto de ciclos limites de um campo vetorial polinomial planar.

We study two criteria about the nonexistence or existence and uniquiness of limit cycles of planar vector fields. We apply these criteria to some families of quadratic and cubic polynomial vector fields. In addition to studying an explicit formula for the number of limit cycles wich bifurcate out of the linear centre x’=-y, y’=x, when we perturb it by an arbitrary polynomial vector field of degree n having the origin as a singular point. By the second criterion, we present the shape of the bifurcated limit cycles of this center. Finally, we present a second application of the second criterion, where we show that every finite configuration of disjoint simple closed curves of the plane is topologically realizable as the set of limit cycles of a planar polynomial vector field.