Investigação de escala para a bifurcação tangente no mapa logístico

Abstract

Neste projeto aplicamos o formalismo de escala com o objetivo de explorar a evolução em direção ao equilíbrio perto de uma bifurcação tangente no mapa logístico. No ponto de bifurcação a órbita segue o caminho descrito por uma função homogênea com expoentes críticos bem definidos. Perto da bifurcação, a convergência para o equilíbrio é exponencial, cujo tempo de relaxação é marcado por uma lei de potência. Para obtermos os expoentes utilizamos dois procedimentos distintos: (1) o primeiro, fenomenológico, envolvendo hipóteses de escala, com o qual determinamos uma lei de escala entre os 3 expoentes críticos; (2) o segundo transforma uma equação de diferenças em uma equação diferencial, sendo resolvida com condições iniciais convenientes. Os resultados analíticos confirmam bem os resultados encontrados numericamente.

In this project we apply the scaling formalism to understand and describe the evolution towards the equilibrium at and near at a tangent bifurcation into logistic map. At the bifurcation the convergence to the steady state is described by a homogeneous function with well de ned critical exponents. Near the bifurcation, the evolution to the equilibrium is described by an exponential function whose relaxation time is described by a power law. We use two di erent approaches to obtain the critical exponents: (1) a phenomenological investigation based on three scaling hypotheses leading to a scaling law relating three critical exponents and; (2) a procedure transforming the di erence equation into a di erential equation which is solved under appropriate conditions. The numerical results give support for the theoretical approach.