Dinâmica de mapas nontwist dissipativos

Abstract

Sistemas Hamiltonianos que violam a condição de não degenerescência de frequências (ou condição twist, para mapas) são chamados de nontwist. Além das características genéricas de sistemas Hamiltonianos, como o espaço de fases misto, sistemas nontwist apresentam fenômenos como ressonâncias isócronas, pontos extremos no perfil do número de rotação e a presença da curva shearless, que é uma barreira de transporte robusta. O modelo mais simples que viola a condição twist é o mapa padrão nontwist, um mapa bidimensional com dois parâmetros de controle. O objetivo desta tese é analisar os efeitos da dissipação adicionada a esse mapa. Diferentemente de sistemas conservativos, sistemas dissipativos apresentam atratores no espaço de fases. Em particular, o mapa padrão nontwist dissipativo apresenta o chamado atrator shearless, e analisamos uma rota de destruição e ressurgimento desse atrator através de uma modificação no mapa que permite manipular a posição dos pontos fixos. Posteriormente, estudamos as selas caóticas do mapa padrão nontwist dissipativo, que são conjuntos caóticos não atrativos responsáveis por transientes caóticos e fronteiras fractais. Ilustramos a coexistência de duas selas caóticas qualitativamente distintas e os seus efeitos nos tempos de transiente, assim como a relação com crises. Por fim, analisamos o limite de dissipação forte, que reduz o mapa a apenas uma dimensão. Analisamos as rotas para o caos, a organização das estruturas periódicas no espaço de parâmetros através da teoria de órbitas extremas e superestáveis e observamos multiestabilidade e crises.

Hamiltonian systems that violate the non-degeneracy of frequencies condition (or twist condition, for maps) are called nontwist systems. In addition to the generic characteristics of Hamiltonian systems, such as mixed phase space, nontwist systems exhibit phenomena like isochronous resonances, extremal points in the rotation number profile, and the presence of the shearless curve, which acts as a robust transport barrier. The simplest model that violates the twist condition is the nontwist standard map, a two-dimensional map with two control parameters. The aim of this thesis is to analyze the effects of added dissipation to this map. Unlike conservative systems, dissipative systems exhibit attractors in phase space. Specifically, the dissipative nontwist standard map presents the so-called shearless attractor, and we analyze a route of destruction and resurgence of this attractor through a modification in the map that allows manipulation of the fixed points’ positions. Subsequently, we study the chaotic saddles of the dissipative nontwist standard map, which are non-attractive chaotic sets responsible for chaotic transients and fractal boundaries. We illustrate the coexistence of two qualitatively distinct chaotic saddles and their effects on transient times, as well as their relationship with crises. Finally, we analyze the strong dissipation limit, which reduces the map to just one dimension. We examine the routes to chaos, the organization of periodic structures in parameter space through the theory of extremal and superstable orbits, and observe multistability and crises.