Modelos cosmológicos fundamentados na geometria diferencial de Lyra

Abstract

Esta tese propõe uma teoria cosmológica baseada na geometria de Lyra, que modifica a geometria de Riemann (na qual se baseia a Teoria da Relatividade Geral) ao introduzir uma "função de escala", o qual é um objeto geométrico fundamental que altera a conexão afim, a definição de tensores e as equações de campo. A partir da sistematização moderna da geometria de Lyra, são discutidos aspectos de simetria com base nas equações de Killing e a métrica obtida para um espaço com simetria máxima é proposta como solução das equações de campo de Lyra na presença de um fluido perfeito. Restringindo-se a um espaço-tempo quadridimensional sem torção, propõe-se uma teoria gravitacional com base na compatibilidade da métrica. As equações de campo modificadas são derivadas de um princípio variacional análogo à ação de Einstein-Hilbert e as soluções resultantes apresentam um vínculo entre o fator de escala do universo e a função de escala de Lyra. Além disso, dois modelos cosmológicos com base na geometria de Lyra são propostos: o primeiro assume a função de escala de Lyra proporcional ao inverso do fator de escala, de forma a satisfazer o vínculo encontrado nas equações de campo. Essa proposição permite a derivação da distância de luminosidade, que possibilita uma comparação com o modelo ΛCDM. O segundo modelo, baseado em simetria conforme, descreve a função de escala de Lyra assumindo o papel do fator de escala, resultando em equações similares às de Friedmann na Relatividade Geral, com soluções como o universo cíclico e o universo ricocheteante (bouncing). Esses modelos sugerem que a expansão do universo pode ser explicada por aspectos puramente geométricos, na geometria de Lyra, sem necessidade de postular a existência de energia escura.

This thesis proposes a cosmological theory based on Lyra’s geometry, which modifies Riemannian geometry (the bases for General Theory of Relativity) to introduce a "displacement field", a fundamental geometric object that alters the affine connection, the definition of tensors and the field equations. From the modern systematization of Lyra geometry, aspects of symmetry are discussed based on the Killing equations and the metric obtained for a space with maximum symmetry is proposed as a solution to the Lyra field equations in the presence of a perfect fluid. Restricting ourselves to a torsion-free four dimensional space-time, we propose a metric compatible gravitational theory. The modified field equations are derived from a variational principle similar to the Einstein- Hilbert approach and the resulting solutions present a constraint between the scale factor and the displacement field. In addition, two cosmological models based on the Lyra’s Geometry are pro- posed. The first assume the displacement field proportional to the inverse of the scale factor, in order to satisfy the constraint found in the field equations. This proposition allows the derivation of the luminosity distance, which leads to a comparison with the ΛCDM model. The second model, based on conformal sym- metry, describes the displacement field as the scale factor, resulting in equations similar to Friedmann’s equations from General Relativity, having solutions such as the cyclic universe and the bouncing universe. These models suggest that the expansion of the universe can be explained by purely geometric aspects in the Lyra’s Geometry, without the need to postulate the existence of dark energy.