Um estudo sobre a conjectura de Markus-Yamabe para tempo contínuo e discreto

Esta dissertação tem como objetivo estudar a Conjectura de Markus–Yamabe nos contextos contínuo e discreto, a qual relaciona propriedades da matriz Jacobiana com a estabilidade global da origem em sistemas dinâmicos. Inicialmente, são apresentados resultados preliminares e ferramentas fundamentais da teoria de sistemas dinâmicos necessários ao desenvolvimento do trabalho. No caso contínuo, estuda-se a validade da conjectura nas dimensões um e dois, bem como se apresenta um contraexemplo polinomial clássico que mostra sua falha em dimensões maiores ou iguais a três. No contexto discreto, investigamos a conjectura para diferentes classes de aplicações, estabelecendo sua validade no caso unidimensional, para aplicações triangulares e para aplicações polinomiais bidimensionais, além da apresentação de contraexemplos polinomiais e racionais em dimensões superiores. Os resultados estudados evidenciam as diferenças entre os casos contínuo e discreto, bem como as limitações da conjectura em dimensões mais elevadas. Por fim, abordamos as conclusões e considerações finais do trabalho.

Resumo (inglês)

This dissertation aims to study the Markus–Yamabe Conjecture in both the continuous and discrete settings, relating properties of the Jacobian matrix to the global stability of the origin in dynamical systems. Initially, preliminary results and fundamental concepts from the theory of dynamical systems that are necessary for the development of this work are presented. In the continuous setting, the validity of the conjecture is investigated in dimensions one and two, and a classical polynomial counterexample demonstrating its failure in dimensions greater than or equal to three is presented. In the discrete setting, the conjecture is studied for different classes of maps, establishing its validity in the one-dimensional case, for triangular maps, and for two-dimensional polynomial maps, as well as presenting polynomial and rational counterexamples in higher dimensions. The results highlight the differences between the continuous and discrete settings, as well as the limitations of the conjecture in higher dimensions. Finally, concluding remarks and final considerations are presented.

Palavras-chave

Conjectura de Markus–Yamabe Estabilidade global Matriz Jacobiana Sistemas dinâmicos contínuos Sistemas dinâmicos discretos Markus–Yamabe conjecture Global stability Jacobian matrix Continuous dynamical systems Discrete dynamical systems

Idioma

Português

Citação

LIMA, Leonardo Ulian de. Um estudo sobre a conjectura de Markus-Yamabe para tempo contínuo e discreto. Orientador: Pedro Toniol Cardin. 2026. 63 f. Dissertação (Mestrado em Matemática Aplicada e Computacional) - Faculdade de Ciências e Tecnologia, Universidade Estadual Paulista (UNESP), Presidente Prudente, 2026.