Aspectos qualitativos de sistemas diferenciais suaves por partes: regularização, bifurcação, ciclos limite e função período.

Abstract

Neste trabalho estamos interessados em alguns tópicos e problemas acerca da teoria qualitativa dos sistemas diferenciais. Analisamos algumas bifurcações de uma classe de sistemas suaves por partes com bordos singulares via regularização. Estudamos cotas inferiores do número de ciclos limites em uma classe de sistemas planares dada pela perturbação de um centro linear por uma soma de campos vetoriais contínuos homogêneos, e as aplicamos em modelos que perdem a suavidade em bordos singulares. Propomos uma variação do 16o problema de Hilbert, com o objetivo de limitar o número de ciclos limite em termos do número dos monômios de uma família de campos vetoriais polinomiais. Investigamos cotas superiores para o número de ciclos de costura, em uma classe de sistemas suaves por partes separados por uma reta contendo combinações de centros lineares e de centros isócronos cúbicos com não-linearidade homogênea, exibindo alguns exemplos concretos que atingem algumas das cotas. Desenvolvemos um procedimento para calcular a expansão de Taylor, em termos dos níveis de energia, da função período de um centro não degenerado, para qualquer sistema Hamiltoniano analíıtico e aplicamos em vários exemplos, sendo possível, em um deles, estudar o número de ciclos limite bifurcando de uma integral Abeliana.

In this work we are interested in some topics and problems about the qualitative theory of differential systems. We analyzed some bifurcations in a class of piecewise smooth systems with singular borders via regularization. We study lower bound for the number of limit cycles in a class of planar systems given by the perturbation of a linear center by a sum of homogeneous continuous vector fields, and we applied them in models that lose their smoothness at singular borders. A variant of Hilbert 16th problem is proposed, in order to bound the number of limit cycles in terms of the number of monomials in a family of polynomial vector fields. We investigated higher bound for the maximum number of crossing limit cycles, in a class of piecewise smooth systems separated by a straight line having combinations of linear centers and cubic isochronous centers with homogeneous non-linearity, showing some concrete examples that reach some higher bounds. We developed a procedure to calculate the Taylor expansion, in terms of energy levels, of the period function for a non-degenerate center, for any analytic Hamiltonian system and we apply it to several examples, being possible, in one of them, to study the number of limit cycles bifurcating from an Abelian integral.