Dynamic mode decomposition for data-driven modeling of spatio-temporal dynamics

Abstract

Nonlinear phenomena are almost ubiquitous in many different engineering applications. Their underlying nonlinearities bring extra complexity to characterize, predict, and control systems. There are two standard ways to deal with this challenge: through linearization, which restricts the response; and through a nonlinear perspective, which in turn increases the analysis complexity. Still in 1931, Koopman had already proposed a third way, expanding the set of states to encompass the nonlinearities inside a Hilbert space. Towards approximate the Koopman operator, we have explored an up-and-coming technique called dynamic mode decomposition (DMD), which has been bringing attention in the last decades, especially in the fluid dynamics community. The theoretical foundations of both Koopman and DMD theories are explained, including the development of the basic algorithm. In order to challenge the performance of DMD reconstruction, four optimization benchmark functions are used to generate complex dynamic field data as input for the algorithm. Their reconstructions provide insights into the limitations of the method. In addition, a physical phenomenon is addressed in this work, the heat diffusion into a homogeneous, isotropic, and flat plate. The dynamical field is well recovered through analytically generated data by DMD with good accuracy even in the presence of noise and coarse spatial sampling. To complete the analysis, an experimental setup of an aluminum plate under a heat source is mounted and generate data for the DMD input, also getting good reconstruction results.Beyond the reconstructions, the algorithm also provided the modes, frequencies, and an approximation for the Koopman operator, useful results for identification and control. For all the cases studied, the reconstructions are compared with the original data using similarity analysis for a range of truncation levels, promoting a discussion of how this parameter influences the accuracy of the reconstruction. The results confirm the ability of DMD to extract spatio-temporal patterns and recover these original fields with high similarity even using a reduced dimensionality, which corroborates the literature by highlighting DMD as a promising tool for studying dynamic systems, especially those whose governing equations are not sufficiently known.

Os fenômenos não lineares são quase onipresentes em diversas aplicações de engenharia. Suas não-linearidades inerentes trazem complexidade adicional para caracterizar, prever e controlar sistemas. Há duas formas tradicionais de lidar com este desafio: a linearização, que restringe a resposta; e por uma abordagem não linear, que, por sua vez, dificulta a análise. Ainda em 1931, Koopman propôs uma terceira via, mediante uma expansão no espaço de estados para compreender as não linearidades dentro de um espaço de Hilbert. Para aproximar o operador de Koopman, exploramos uma técnica emergente chamada decomposição de modos dinâmicos (DMD), que vem ganhando destaque nas últimas décadas, especialmente na comunidade de dinâmica dos fluidos. Os fundamentos teóricos das teorias Koopman e da DMD são explicados, incluindo o desenvolvimento básico do algoritmo. Com o objetivo de desafiar o desempenho da reconstrução DMD, quatro funções \textit{benchmark} em problemas de otimização são utilizadas para gerar dados de campos dinâmicos complexos como entrada para o algoritmo. Suas reconstruções fornecem uma discussão acerca das limitações do método. Além disso, um fenômeno físico é abordado neste trabalho, a difusão de calor em uma placa plana homogênea e isotrópica. O campo dinâmico é bem recuperado através de dados gerados analiticamente pela DMD, mesmo na presença de ruído e amostragem espacial grosseira. Para completar a análise, uma configuração experimental de uma placa de alumínio sob uma fonte de calor é montada e gera dados reais para a DMD, obtendo uma boa reconstrução. Além das reconstruções, o algoritmo também forneceu os modos, frequências e uma aproximação para o operador de Koopman, resultados úteis para identificação e controle. Para todos os casos estudados as reconstruções são comparadas com os dados originais utilizando análise de similaridade para diferentes níveis de truncamento, promovendo uma discussão de como este parâmetro influencia na precisão do processo. Os resultados confirmam a capacidade da DMD em extrair padrões espaço-temporais e recuperar esses campos originais com alta similaridade mesmo com uma dimensionalidade reduzida, corroborando com a literatura ao destacar a DMD como uma ferramenta promissora para o estudo de sistemas dinâmicos, especialmente quando as equações governantes não são suficientemente conhecidas.