Persistence of periodic orbits from planar piecewise linear Hamiltonian differential systems with two or three zones
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Data
2023-03-09
Autores
Orientador
Pessoa, Claudio Gomes 
Coorientador
Pós-graduação
Matemática - IBILCE
Curso de graduação
Título da Revista
ISSN da Revista
Título de Volume
Editor
Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Tipo
Tese de doutorado
Direito de acesso
Acesso restrito
Resumo
Resumo (português)
Neste trabalho, nosso objetivo é estimar o número de ciclos limites do tipo costura em sistemas diferenciais Hamiltonianos lineares por partes planares com duas ou três zonas separadas por retas de modo que os sistemas lineares que definem o por partes têm pontos singulares isolados, ou seja, centros ou selas. Mais precisamente, começaremos determinando o número de ciclos limites de sistemas diferenciais Hamiltonianos lineares por partes contínuos ou descontínuos com duas ou três zonas. Neste caso, mostraremos que se o sistema for descontínuo com três zonas, então ele tem no máximo um ciclo limite, e forneceremos exemplos com um ciclo limite. Em seguida, estimaremos o número de ciclos limites que podem bifurcar de um anel de órbitas periódicas de um sistema diferencial Hamiltoniano linear descontínuo por partes com três zonas, após perturbações polinomiais de grau n, para n=1,2,3. Para estes casos, denotando por H(n) o número de ciclos limites que podem bifurcar do anel de órbitas periódicas do sistema, provaremos que se o sistema diferencial linear definido na região entre as duas retas paralelas (chamado de subsistema central) possui um centro na origem e os demais subsistemas possuem centros ou selas, então H(1)≥3, H(2)≥4 e H(3)≥7. Agora, para o caso particular em que o subsistema central possui um centro e os demais subsistemas possuem apenas selas reais, se o centro for real (não necessariamente na origem) ou se estiver sobre a fronteira da região central, então H(1)≥6, e se for virtual, então H(1)≥4. Finalmente, se o subsistema central possui uma sela real e os demais subsistemas possuem centros ou selas, então H(1)≥6. Para isso, estudaremos o número de zeros de suas funções de Melnikov definidas em duas e três zonas. Além disso, fornecemos métodos analíticos detalhados para estudar o número de zeros das funções de Melnikov.
Resumo (inglês)
In this work, our goal is estimate the number of crossing limit cycles in planar piecewise linear Hamiltonian differential systems with two or three zones separated by straight lines such that the linear systems that define the piecewise one have isolated singular points, that is, centers or saddles. More precisely, we will start with the study of the number of limit cycles for continuous or discontinuous piecewise linear Hamiltonian differential systems with two or three zones. In this case, we show that if the system is discontinuous with three zones then it has at most one limit cycle, and we will provide examples with one limit cycle. Next, we will estimate the number of limit cycles that can bifurcate from a periodic annulus in a discontinuous piecewise linear Hamiltonian differential system with three zones, after polynomials functions perturbations of degree n, for n=1,2,3. For theses cases, denoting by H(n) the number of limit cycles that can bifurcate from this periodic annulus, we prove that if the linear differential system defined in the region between the two parallel lines (called of central subsystem) has a center at the origin and the others subsystems have centers or saddles then H(1)≥3, H(2)≥4 and H(3)≥7. Now, for the particular case where the central subsystem has a center and the others subsystems have only real saddles, if the central subsystem has a real (not necessarily at the origin) or boundary center then H(1)≥6 and if it has a virtual center then H(1)≥4. Finally, if the central subsystem has a real saddle and the others subsystems have centers or saddles then H(1)≥6. For this, we study the number of zeros of its Melnikov functions defined in two or three zones. Moreover, we provide detailed analytical methods to study the number of zeros from Melnikov functions defined in two or three zones.
Descrição
Idioma
Inglês