Estudo de uma equação logística com um termo de advecção não linear

Abstract

Neste trabalho, será estudada a existência de solução positiva para uma equação logística com um termo de advecção não linear:

−Δu + ⃗α · ∇u^p = λu − u², em Ω, u = 0, sobre ∂Ω, (P) onde Ω ⊂ R^N, N ≥ 1, é um domínio limitado com fronteira suave, ⃗α ∈ R^N, p > 1, e λ ∈ R. A equação (P) difere da equação logística clássica de dinâmica populacional pelo termo adicional não linear de advecção (⃗α · ∇u^p). Do ponto de vista biológico, tal termo adicional representa a velocidade pela qual a espécie estudada se movimenta, sendo que sua densidade aumenta ou diminui dependendo da função u e da extensão do parâmetro p e do |⃗α|. No entanto, do ponto de vista matemático, tal termo traz consigo uma nova complexidade. Além dos métodos já utilizados para a resolução de equações logísticas clássicas, como o princípio do máximo, as propriedades espectrais do autovalor principal do problema e o método de sub-supersolução, é necessário uma análise cuidadosa referente ao crescimento de p e do vetor ⃗α. Para isso, será utilizado o método de sub-supersolução levando em consideração o crescimento da função f(x, u,∇) = λu−u² − ⃗α ·∇u^p, e ainda utilizando a Identidade de Picone para mostrar a existência e unicidade de uma solução positiva para o problema. Por m, é mostrado que ao modificar o parâmetro ⃗α ∈ R^N por⃗ α ∈ C_0^1 (Ω), se o div ⃗α ≡ 0 os resultados de unicidade de solução positiva permanecem, caso contrário, é demonstrado que se a bifurcação do caminho de soluções for subcrítica, em determinada região próxima de λ_1 é possível obter no mínimo duas soluções positivas para o problema (P).

In this work, we study the existence of a positive solution for a logistic equation with a nonlinear advection term:

−Δu + ⃗α · ∇u^p = λu − u², in Ω, u = 0, on ∂Ω, (P) where Ω ⊂ R^N, N ≥ 1, is a bounded domain with smooth boundary, ⃗α ∈ R^N, p > 1, and λ ∈ R. Equation (P) di ers from the classical logistic equation of population dynamics by the additional nonlinear advection term (⃗α ·∇u^p). From a biological perspective, such an additional term represents the velocity at which the studied species moves, with its density increasing or decreasing depending on the function u and the extent of the parameters p and |⃗α|. However, from a mathematical standpoint, this term brings along a new complexity. In addition to the methods already used for solving classical logistic equations, such as the maximum principle, the spectral properties of the principal eigenvalue of the problem, and the sub-supersolution method, a careful analysis regarding the growth of p and the vector ⃗α is necessary. For this, the sub-supersolution method will be used, taking into account the growth of the function f(x, u,∇) = λu − u² − ⃗α · ∇up, and also utilizing Picone's Identity to show the existence and uniqueness of a positive solution to the problem. Finally, it is shown that by modifying the parameter ⃗α ∈ R^N to ⃗α ∈ C_0^1(Ω), if div ⃗α ≡ 0, the results of uniqueness of positive solution remain, otherwise, it is demonstrated that if the bifurcation of the solution path is subcritical, in a certain region close to λ_1, it is possible to obtain at least two positive solutions for the problem (P).