Dissertações - Matemática - IBILCE

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Frações contínuas e Inteiros de Gauss
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-06-05) Tofanin Neto, José Luiz; Messaoudi, Ali [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste estudo, abordaremos a extensão de frações contínuas para os números complexos em termos de inteiros Gaussianos. Estudaremos resultados semelhantes ao teorema de Lagrange, e algumas propriedades que dão estimativas de quão boas aproximações as frações continuas em termos de inteiros gaussianos podem gerar. Além disso, exploraremos algoritmos para gerar essas frações contínuas e estudaremos os espaços de sequência em que estão as frações contínuas.
Introduction to quantum invariants of knots and a path towards topological quantum field theories (TQFT)
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-04-12) Bortolucci, Pedro Henrique Muller; Libardi, Alice Kimie Miwa [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Os invariantes quânticos surgem por volta do final dos anos 1980 com a descoberta do polinômio de Jones e se desenvolveu como uma nova linha de pesquisa em matemática, mais geralmente chamada de Topologia Quântica. De fato, esses invariantes quânticos são invariantes topológicos de grande relevância no estudo da topologia algébrica. O objetivo desse trabalho é estudar os invariantes quânticos que permitam uma completa classificação dos nós, além da introdução de alguns conceitos como os de álgebras de Lie, álgebras de Hopf e de teorias topológicas de campos quânticos (TQFT), com o intuito de preparar um estudo mais aprofundado nessa área. O trabalho será baseado no pre-print: "A Brief Introduction to Knot Invariants"de Louis Funar, bem como em trabalhos clássicos de TQFT’s por Turaev, como o livro "Quantum Invariants of Knots and 3-Manifolds".
Estudo de um modelo epidemiológico suave por partes para a pandemia de COVID-19
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-04-13) Souza, Juliana Marques de; Buzzi, Claudio Aguinaldo; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Modelos matemáticos que envolvem sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO’s) podem apresentar descontinuidades que melhor representam o fenômeno observado do que se fosse usado um sistema de EDO’s contínuo. Neste trabalho, aplicamos a teoria de Sistemas Dinâmicos Suaves por Partes num modelo de trans- missão epidemiológico da COVID-19, baseado no modelo clássico SIR, em que a descontinuidade do modelo consiste na alternância entre realizar ou não políticas de quarentena/contenção - modelo SIR-X. O comportamento do sistema em algumas re- giões da variedade de descontinuidade pode ser analisado seguindo a formulação de Filippov, e, para isso, definimos tais regiões conforme o tipo de contato entre ela e o campo de vetores. Após a análise apresentada, conseguimos estabelecer o distanci- amento social mínimo necessário para o sistema de saúde não entrar em colapso.
Um estudo do espectro de Fucik para o operador p-laplaciano
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-10-03) Ambrosio, Enrico Sonvenso; Pimenta, Marcos Tadeu de Oliveira [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho estudaremos o Espectro de Fučik para o p-laplaciano Σ_p, o qual é definido pelos pontos (α,β)∈R^2 para os quais o Problema de Fučik tem solução não trivial. Partindo de resultados já conhecidos para o Problema de Autovalor do Operador p-Laplaciano provamos a existência de duas curvas triviais para o espectro de Fucik, bem como mostramos algumas de suas propriedades. Além disso, utilizando de uma versão do Teorema do Passo da Montanha para uma C^1 variedade conseguimos o primeiro ponto não trivial e partindo dele construímos uma curva no plano que pertence ao Espectro de Fučik. O resultado mais importante desse trabalho garante que essa curva é a primeira curva não-trivial do Espectro de Fučik. Estudamos também ao final do texto algumas propriedades e comportamentos da curva obtida como o fato dela ser contínua, estritamente decrescente e nos limite convergir para as linhas triviais.
Dinâmica topológica em equações diferenciais ordinárias generalizadas
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-03-06) Juang, Lucas Yudy; Afonso, Suzete Maria Silva; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Este trabalho é dedicado ao estudo de sistemas semidinâmicos gerados por equações diferenciais ordinárias (EDOs) generalizadas. Mostramos a existência de um sistema semidinâmico local e a existência de um sistema semidinâmico impulsivo associado a uma classe de EDOs generalizadas. Para tanto, parte da teoria básica desse tipo de equações é explorada. Como consequência, apresentamos uma versão do Princípio de Invariância de LaSalle para sistemas semidinâmicos impulsivos correspondentes a uma EDO generalizada impulsiva, além de algumas propriedades recursivas, tais como minimalidade e recorrência.
Teorema das unidades de Dirichlet e o reticulado logarítmico
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-02-28) Bonini, Maria Fernanda Zordan; Andrade, Antonio Aparecido de; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho apresentamos resultados básicos da teoria algébrica dos números, entre eles traço, norma, discriminante e anel de inteiros algébricos. Estes serviram como base para encontrar as unidades (elementos invertíveis) de corpos de números, como o quadrático, cúbico e ciclotômico. Um artefato utilizado para encontrar as unidades dos corpos cúbicos foi o Teorema das Unidades de Dirichlet. Esse teorema representa o resultado mais significativo deste trabalho, fornecendo uma descrição quase completa em termos abstratos do grupo das unidades de um corpos de números, de modo a implicar que este grupo é finitamente gerado. Por fim, como aplicação deste teorema, apresentamos a construção dos reticulados logarítmicos, feitos a partir de um mergulho logarítmico restrito ao grupo das unidades do anel de inteiros algébricos de um corpo de números. Ainda, apresentamos uma cota superior para raio de cobertura deste reticulado através das unidades de um corpo ciclotômico.
Um estudo sobre bases integrais de corpos de números
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-02-28) Taddone, Maria Clara Lopes; Andrade, Antonio Aparecido de; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho, apresentamos alguns conceitos básicos da teoria algébrica dos números tais como números algébricos, anel de inteiros algébricos e discriminante. Analisamos a base integral de um corpo quadrático, o qual é um resultado bastante conhecido, e apresentamos o conceito de inteiros mínimos, elementos p-integrais e bases p-integrais de um corpo de números K sobre Q. Estes conceitos são de extrema importância para determinar bases integrais para corpos cúbicos da forma Q(θ), com θ uma raiz de um polinômio irredutível sobre Z da forma f(t) = t^3 − at + b ∈ Z[t], sob certas condições específicas sobre os coeficientes a e b.
Corpos de funções algébricas e teoria dos códigos
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-03-13) Araujo, Murillo Lozano Rubinho de; Salehyan, Parham; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
A teoria de curvas algébricas possui diversas aplicações na matemática. Quando as estudamos sobre corpos finitos, obtemos aplicações na teoria de códigos, criptografia e geometria finita. Neste trabalho, tratamos da parte algébrica desta teoria, e nosso principal objeto de estudo são os corpos de funções algébricas, os quais veremos a princípio, sobre corpos arbitrários. Posteriormente, restringiremos para corpos finitos, e estaremos interessados no número de lugares racionais que um corpo de funções possui, e uma cota superior para este número. Serão apresentados também resultados que estimam seu gênero. As aplicações destes resultados culminam na existência de curvas maximais, e um código bastante importante: os códigos de Goppa.
Regularização de folheações descontínuas: blow up e condições de deslize via teoria de Fenichel
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-02-16) Teixeira, Mayara Cristina; Gouveia, Márcio Ricardo Alves [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Dada uma 1-folheação descontínua F definida em M − Σ, onde M é uma variedade suave e Σ ⊂ M é um subconjunto fechado de M interpretado como o locus de descontinuidade de F, neste trabalho generalizaremos o conceito de regularização para 1-folheações, considerando uma ampla família de funções de transição, com o objetivo de compreender o comportamento na região de descontinuidade destas folheações. Em um paralelo com as convenções de Filippov, serão definidas regiões de deslize e costura no locus de descontinuidade Σ para a regularização de uma folheação. Tais regiões podem ser interpretadas como um tipo de limite da dinâmica de uma 1-folheação suave próxima. Técnicas de perturbação singular, da teoria clássica de Fenichel e de blow ups serão utilizadas para obter condições suficientes para identificar as regiões de deslize e/ou costura da regularização de uma 1-folheação descontínua.
Comparação de operadores diferenciais e aplicações
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2023-02-17) Lima, Lucas de Souza; Bastos, Waldemar Donizete [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho usamos a transformada de Fourier e alguns resultados abstratos sobre operadores fechados para definir operador maximal e operador minimal associados a um operador diferencial parcial linear com coeficientes constantes. Provamos a sobrejetividade do operador maximal, o que equivale à existência de soluçőes fracas de quadrado integrável num domínio limitado, para a equação diferencial correspondente. Estudamos a noção comparação de operadores diferenciais segundo Lars Hörmander estabelecendo uma condição necessária e suficiente para comparar dois operadores diferenciais. A título de aplicação mostramos como as desigualdades de comparação entre operadores permitem definir traços, localmente de quadrado integrável em hiperplanos, para soluções de algumas equaçőes diferenciais parciais.
Sistemas Holomorfos
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-09-30) Silva, Carlos Vinícius das Neves; Silva, Paulo Ricardo da [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho estudaremos propriedades locais e globais de equações diferenciais complexas de primeira ordem. Classificaremos o retrato de fase no disco de Poincaré de uma família de equações racionais e por fim, estudaremos sistemas holomorfos por partes em especial, apresentaremos condições que garantem a existência de ciclo limite para estes sistemas.
Classificação de imagens tridimensionais por meio de homologia persistente e imagem de persistência.
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-09-08) Souza, Mariele Pedro de; Melo, Thiago de [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O trabalho desenvolvido traz um estudo sobre o agrupamento de imagens tridimensionais por meio da Análise Topológica de Dados (TDA). Nos primeiros capítulos, as principais definições da Topologia Algébrica são apresentadas para construção e entendimento dos cálculos realizados posteriormente. À seguir, são desenvolvidos programas na linguagem computacional Python para o estudo das mais de cento e cinquenta imagens, de vinte categorias distintas. Os agrupamentos foram realizados segundo a distância entre diagramas de persistência e imagens de persistência. As análises finais foram realizadas por meio de escalonamento multidimensional, dendrogramas e algoritmo k-means.
Teoria de Chebyshev e aplicações à ciclicidade de campos de vetores lineares por partes
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-07-15) Gusson, Vitor Henrique Lopes; Pessoa, Claudio Gomes; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O objetivo deste trabalho é apresentar a Teoria de Sistemas de Chebyshev clássica e atual, com acurácia, e sua potencial aplicação na Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais Ordinárias (TQEDO). Para isto, reunimos as principais definições e resultados acerca da Teoria de Chebyshev, transitando entre sistemas de Chebyshev estendidos, completos, completos estendidos, e estendidos com acurácia. Caracterizamos cada uma destas classes de sistemas de Chebyshev a partir do número máximo de zeros que uma combinação linear não trivial de suas funções possui. Um dos principais resultados sobre sistemas de Chebyshev com acurácia, encontrado na literatura, relaciona a existência de uma cota superior para o número máximo de zeros isolados de uma combinação linear de funções de um conjunto com os zeros dos Wronskianos das funções deste conjunto. Aqui, exibimos uma melhora nesta cota superior. Com a finalidade de mostrar uma aplicação da Teoria de Chebyshev na TQEDO, consideramos uma classe de sistemas lineares por partes, maior que a do artigo original, tendo um laço homoclínico formado por um ponto de sela e por um centro, limitado por um anel de órbitas periódicas, e estudamos, com auxílio de semi-aplicações de Poincaré, o número máximo de ciclos limites que bifurcam (isto é, a ciclicidade) deste anel por perturbações lineares. Por fim, aplicando os sistemas de Chebyshev com acurácia em um dos resultados de ciclicidade, mostramos como eles podem ser úteis para melhorar cotas do número máximo de ciclos limites.
Condições sequenciais de otimalidade e condições de qualificação em otimização não linear
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-03-30) Silva, Vinicius Cabral da; Silva, Geraldo Nunes [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
O principal objetivo desta dissertação é estudar métodos numéricos para a resolução de um problema de otimização restrita, utilizando como principais ferramentas as condições sequenciais de otimalidade de primeira e segunda ordem adequadas. É feito um estudo detalhado acerca de cada condição sequencial de otimalidade, mostrando suas consequências na implementação de algoritmos práticos para otimização restrita. Além disso, é apresentado resultados importantes em otimização não linear, como as condições de qualificação conhecidas e suas relações com as condições sequenciais.
Observações sobre o 'span' de determinadas classes de variedades
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-02-21) Silva, Matheus Eduardo Dametto; Libardi, Alice Kimie Miwa [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Esta dissertação tem por finalidade apresentar parte do artigo [14] de P. Sanrakaran, onde é feita uma ampla discussão sobre o problema dos campos de vetores para os espaços homogêneos. O 'span' de uma variedade diferenciável M é definido como sendo o maior natural r tal que existem campos de vetores linearmente independentes em todos os pontos da variedade. Tomando como base alguns resultados e exemplos, nosso objetivo será determinar o span(M), ou obter uma boa aproximação para tal. Em especial, trabalharemos na Variedades de Stiefel e na Variedades de Stiefel Projetivas. Será apresenta algumas conjecturas propostas por J. Korbas e P. Zvengrowski no artigo [6]. Para que tal discussão seja possível, será necessário um estudo preliminar acerca de conceitos pertinentes para o entendimento e apreciação deste tema, tais como alguns tópicos de topologia algébrica, variedades diferenciáveis, fibrados vetoriais e classes características.
Polinômios de Romanovski-Routh
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-03-29) Pasquareli, Giovana Rossi; Bracciali, Cleonice Fátima [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Neste trabalho estudamos características, propriedades e aplicações dos polinômios de Romanovski-Routh. Tais polinômios formam uma classe de polinômios ortogonais clássicos, ou seja, são soluções polinomiais de uma equação diferencial ordinária com coeficientes polinomiais chamada equação hipergeométrica. Compilamos resultados quanto a suas representações, ortogonalidade, zeros e aplicação à Mecânica Quântica. Apresentamos também duas famílias que constituem partições do conjunto de todos os polinômios de Romanovski-Routh, uma delas composta pelos polinômios complementares de Romanovski-Routh.
Construção de reticulados circulantes densos
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-03-17) Pinto, William Lima da Silva; Alves, Carina [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Reticulados circulantes são aqueles que admitem uma matriz circulante como matriz geradora, isto é, que admitem como base um vetor real e suas n − 1 rotações uma coordenada à direita. Neste trabalho, apresentamos determinadas condições sob as quais a expressão da norma de um vetor arbitrário de um reticulado circulante é substancialmente simplificada, e então investigamos alguns reticulados obtidos dentro dessas condições. A principal contribuição deste trabalho é exibir sistemas de equações não-lineares cujas soluções dão origem a reticulados tão densos quanto Dₙ em dimensões ímpares.
Um estudo sobre a equação do calor semilinear generalizada em espaços de Marcinkiewicz
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-02-24) Melo, Pedro Henrique Rocha; Pereira, Juliana Conceição Precioso [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Nesta dissertação de mestrado, estudaremos a boa-colocação do problema de Cauchy da equação do calor semilinear generalizada nos espaços de Marcinkiewicz L(p,∞). Soluções mild são obtidas em espaços funcionais com certa homogeneidade que permitem a existência de soluções auto-similares. A estabilidade assintótica das soluções é obtida, bem como estimativas de decaimento. Este trabalho é inteiramente baseado no artigo [2] de Ferreira e Villamizar-Roa.
Um estudo sobre o problema do carteiro rural: aplicações na colheita da cana-de-açúcar
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-01-25) Carvalho, Drielly Alves de; Araujo, Silvio Alexandre de; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Dentre as principais atividades do agronegócio brasileiro, encontra-se a produção da cana-de-açúcar, sendo o Brasil o principal produtor mundial. A cadeia produtiva da cana se encontra em constante desenvolvimento, buscando sempre novas tecnologias e ferramentas que possam contribuir para um planejamento eficaz de toda a cadeia produtiva. O processo de colheita da cana-de-açúcar representa umas das etapas mais importantes e mais caras da cadeia produtiva, sendo de grande importância que ela seja planejada e realizada da melhor forma. Dentre as ferramentas disponíveis para auxiliar no processo de tomada de decisões, os problemas e modelos matemáticos de otimização têm se mostrado úteis para representar e resolver o problema da colheita. O Problema do Carteiro Rural (PCR) é um clássico problema da otimização combinatória e muito usado para representar problemas logísticos. O problema da colheita da cana pode ser representado pelo PCR, onde as arestas requeridas representam as linhas de cana-de-açúcar, e as demais arestas representam os espaços livres para a locomoção da colhedora. Além disso, o problema pode ser estendido para múltiplos carteiros (K-PCR). A partir do problema do carteiro rural são propostas 4 versões para o problema da colheita da cana: PCR clássico, K-PCR utilizando um modelo Min-Max, PCR e K-PCR com um problema de designação utilizando também um modelo Min-Max. Foram utilizadas instâncias da literatura para a validação dos modelos, os quais se mostraram eficientes para instâncias de até 50 vértices. Os modelos foram propostos com os objetivos de minimizar o tempo de colheita e gerar rotas equilibradas entres as máquinas disponíveis, sendo que ambos os objetivos foram alcançados na maior parte das instâncias.
Órbita de Shilnikov em sistemas dinâmicos de Filippov
(Universidade Estadual Paulista (Unesp), 2022-02-04) Carvalho, Yuri Garcia da Silva; Gouveia, Márcio Ricardo Alves [UNESP]; Universidade Estadual Paulista (Unesp)
Com este trabalho, nós introduziremos o conceito de órbita Shilnikov de deslize em sistemas de Filippov. Essa órbita é uma curva fechada suave por partes, composta pelas trajetórias de Filippov, que passa pela região de descontinuidade $\Sigma$, conectando o pseudo-equilíbrio sela-foco a si mesmo. Uma versão do Teorema de Shilnikov é demonstrada para estes sistemas. Mostramos que, a órbita Shilnikov de deslize ocorre em famílias genéricas de Filippov a um parâmetro, além de garantir a existência de infinitas órbitas periódicas, em uma vizinhança da órbita de Shilnikov. Diferente do Teorema de Shilnikov para campos suaves, nós não precisamos admitir a condição de Shilnikov (S) para garantir os resultados. Por fim, a existência das órbitas de Shilnikov de deslize é garantida por um exemplo linear.

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