Problema relativístico restrito de três corpos para objetos compactos : métrica Majumdar-Papapetrou e aproximação pós-newtoniana

Abstract

Esta dissertação visa explorar o problema restrito de três corpos para objetos compactos em duas abordagens diferentes, por uma aproximação pós-newtoniana da relatividade geral e do estudo do espaço-tempo de Majumdar-Papapetrou. Começaremos deduzindo o problema de forma clássica e o estenderemos para um caso onde possamos trabalhar com uma aproximação relativística. Analisaremos o problema através da métrica de MP (Majumdar-Papapetrou), para isto devemos simplificar nosso problema considerando-o estático. Ambas as abordagens serão analisadas em duas etapas, a análise algébrica a partir das equações das geodésicas e a análise computacional partindo das mesmas equações para a definição das órbitas de maneira numérica. Tendo em vista o caso MP poderemos definir órbitas estáveis e/ou instáveis possíveis para o sistema estático, as quais em alguns casos somente podem ser obtidas a partir de um procedimento numérico conforme observado na literatura. O que nos gera três possibilidades de órbitas estáveis em ϕ = 0 e duas possibilidades de órbitas circulares em z = 0. A segunda abordagem se dará através da primeira expansão pós-newtoniano da relatividade geral (1 PN) e neste caso temos como objetivo explicitar as diferenças entre uma análise considerando dois regimes (newtoniano e pós-newtoniano). A partir das equações de Einstein da relatividade geral obteremos uma Lagrangiana que descreve o sistema em um referencial não inercial. Advinda da Lagrangiana obteremos a energia e consequentemente o potencial efetivo associado ao sistema. Neste momento obtivemos a variação do potencial efetivo para os regimes newtoniano e pós-newtoniano para um conjunto de exemplos de sistemas binários. Após explorarmos o problema obtivemos a mudança de posição dos pontos de Lagrange, conforme a variação dos potenciais efetivos (newtoniano e pós-newtoniano) por fim poderemos observar as regiões onde é possível a existência de órbitas, através da análise das curvas de velocidade zero que são provenientes do estudo da constante de Jacobi.

This master thesis aims to explore the restricted three-body problem for compact objects in two different approaches, by a post-Newtonian approach to the general relativity and the Majumdar-Papapetrou’s spacetime. We will start by deducing the problem in a classical way and we will extend it to a case where we can work with a relativistic approximation. We will analyze the problem through the MP metric (Majumdar-Papapetrou), for this we must simplify our problem by considering it static. Both approaches will be analyzed in two stages, the algebraic analysis based on the geodesic equations and the computational analysis based on the same equations to define the orbits numerically. Bearing in mind the MP case, we will be able to define possible stable and/or unstable orbits for the static system, which in some cases can only be obtained from a numerical procedure, as observed in the literature. Which gives us three possibilities of orbits in ϕ = 0 and two possibilities of circular orbits in z = 0. The second approach will be through the post-Newtonian limit of general relativity (1 PN), in this case we will consider finding the possibility of orbits around the compact objects. From the Einstein equations of general relativity we will obtain a Lagrangian that describes the system in a non-inertial frame of reference. From the Lagrangian it is possible to obtain the energy and consequently the effective potential associated to the system. At this moment we obtained the difference of the effective potential between the Newtonian and Post-Newtonian regimes for several examples of binary systems. After exploring the problem, we obtained the changing position of the Lagrangian points, according to the difference of the effective potentials (Newtonian and Post-Newtonian), finally we will be able to note the regions where the existence of orbits are possible, through the analysis of zero velocity curves provide by the Jacobi’s constant.