Álgebra matricial e suas aplicações em imagens digitais utilizando GNU Octave

Abstract

Este estudo investiga a conexão entre a álgebra linear e a manipulação de imagens, explorando como os princípios matemáticos fundamentais possuem aplicações práticas relevantes. Iniciamos com o contexto histórico, destacando o progresso na captura de imagens, desde seus estágios iniciais até sua importância atual. Em seguida, discutem-se alguns métodos de coleta de imagens, bem como sua conversão para o formato digital. A representação matricial pode ser obtida por meio da captura de imagens, onde cada elemento em linhas e colunas equivale a um pixel, e cada número distinto indica uma cor distinta. Assim, as relações entre os pixels possibilitam a execução de operações básicas entre matrizes, como adição, subtração e multiplicação. Também será abordada a utilização de transformações lineares representadas por matrizes, que são empregadas para tarefas como refletir, distorcer e girar imagens. Além disso, o estudo investiga a decomposição em valores singulares (SVD) como uma técnica eficaz de redução de imagens. Essa metodologia permite diminuir a complexidade da matriz que representa a imagem, dividindo-a em três outras matrizes, o que possibilita a eliminação de componentes irrelevantes e a redução do espaço de armazenamento, sem prejudicar a qualidade visual. A técnica é frequentemente utilizada em sistemas que necessitam de economia de recursos computacionais. A implementação no GNU Octave ilustra de maneira prática a teoria discutida.

This study investigates the connection between linear algebra and image manipulation, exploring how fundamental mathematical principles have relevant practical applications. We begin with the historical context, highlighting the progress in image capture, from its early stages to its current importance. Next, some image collection methods are discussed, as well as their conversion to digital format. The matrix representation can be obtained through image capture, where each element in rows and columns corresponds to a pixel, and each distinct number indicates a distinct color. Thus, the relationships between pixels enable the execution of basic operations between matrices, such as addition, subtraction, and multiplication. The use of linear transformations represented by matrices will also be addressed, as they are employed for tasks such as reflecting, distorting, and rotating images. Additionally, the study investigates Singular Value Decomposition (SVD) as an effective image reduction technique. This methodology allows the complexity of the matrix representing the image to be reduced by decomposing it into three other matrices, which enables the elimination of irrelevant components and reduces storage space without compromising visual quality. The technique is frequently used in systems that require computational resource optimization. The implementation in GNU Octave practically illustrates the theory discussed.