Equações diferenciais e modelagem de alguns fenômenos físicos

Abstract

A compreensão matemática da força de resistência do ar, dos circuitos eletrônicos e do oscilador harmônico é alcançada por meio da modelagem usando equações diferenciais e princípios físicos. Neste trabalho, realizaremos um estudo sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira e segunda ordem, que desempenham um papel fundamental na modelagem do problema de queda livre de um corpo, levando em consideração a resistência do ar, os circuitos elétricos e o pêndulo - exemplos clássicos de um oscilador harmônico. Além de apresentar os principais aspectos dessa classe de EDOs, também abordaremos o teorema de Existência e Unicidade, apresentando duas abordagens distintas: o Método de Aproximações Sucessivas e o Teorema de Picard-Lindelöf. Por fim, fundamentaremos a teoria com três aplicações. Primeiramente, realizaremos a modelagem matemática da influência do ar na queda de um objeto e validaremos a mesma com uma experimentação simples e de baixo custo, utilizando o software Tracker. Em seguida, abordaremos a modelagem do Circuito Resistor-Capacitor e sua validação com um experimento elétrico. Por último, discutiremos o pêndulo, um sistema que descreve o movimento periódico de um sistema em torno de uma posição de equilíbrio.

The mathematical understanding of air resistance, electronic circuits, and the harmonic oscillator has been achieved through modeling with differential equations and physics principles. This work studies first and second order Ordinary Differential Equations (ODEs), which play a fundamental role in modeling a free falling body, considering air resistance, electric circuits, and the pendulum - a classic example of a harmonic oscillator, will be conducted. In addition to presenting the main aspects of this class of ODEs, we will also address the Existence and Uniqueness Theorem, exploring two distinct approaches: the Method of Successive Approximations and the Picard-Lindelöf Theorem. Finally, we will support the theory with three applications. First, we will mathematically model the influence of air resistance on the fall of an object and validate it through a simple and low-cost experiment using Tracker software. Next, we will model the Resistor-Capacitor (RC) circuit and validate it through an electrical experiment. Lastly, we will analyze the pendulum, a system that describes the periodic motion of an object around its equilibrium position.