Bivariate Freud weight function, matrix Painlevé-type difference equations, and reflexive polynomials

Abstract

Esta tese tem dois objetivos principais no estudo de polinômios ortogonais bivariados. O primeiro objetivo é investigar polinômios ortogonais com relação a uma função peso de Freud bivariada que depende de parâmetros reais. Entre outros resultados, apresentamos a extensão matricial de uma equação discreta de Painlevé para os coeficientes matriciais das relações de três termos satisfeitas pelos polinômios ortonormais bivariados. Uma versão bidimensional da latttice de Langmuir satisfeita pelos coeficientes matriciais é obtida. Uma equação diferencial de diferenças matricial para os polinômios ortonormais bivariados é deduzida. Outro objetivo é investigar as propriedades de funções peso bivariadas e dos polinômios ortogonais em duas variáveis relacionados, que satisfazem uma propriedade reflexiva com relação às duas variáveis. Mostramos que os coeficientes matriciais das relações de três termos satisfazem uma propriedade reversa. As relações entre polinômios ortogonais reflexivos e as matrizes reversas são obtidas. Finalmente, apresentamos algumas funções peso particulares e polinômios ortogonais bivariados que satisfazem a propriedade reflexiva.

This thesis has two main purposes in the study of bivariate orthogonal polynomials. The first purpose is to investigate orthogonal polynomials with respect to a bivariate Freud weight function depending on real parameters. Among other results, we present the matrix extension of a discrete Painlevé equation for the coefficient matrices of the three-term relations satisfied by the bivariate orthonormal polynomials. A two dimensional version of the Langmuir lattice satisfied by the coefficient matrices is obtained. A matrix differential-difference equation for the bivariate orthonormal polynomials is deduced. Another aim is to investigate the properties of bivariate weight functions and related orthogonal polynomials in two variables that satisfy a reflexive property with respect to the two variables. We show that coefficient matrices of the three-term relations satisfy a reverse property. The relations between reflexive orthogonal polynomials and the reverse matrices are obtained. Finally, we present some particular weight functions and bivariate orthogonal polynomials that satisfy the reflexive property.