Construindo isometrias no plano com o auxílio do aplicativo Geogebra

Abstract

Esse material apresentado como produto educacional é fruto da pesquisa de Dissertação de Mestrado intitulada Isometrias em Geometrias Euclidianas e n ao Euclidianas sob o ponto de vista da Geometria Analítica, desenvolvida no Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, PROFMAT, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista ”Júlio de Mesquita Filho”, UNESP, campus Rio Claro, SP, sob orientação do Prof. Dr. Jamil Viana Pereira. Na dissertação, investigamos as isometrias inicialmente no plano Euclidiano, posteriormente na esfera unitária, e por último no plano hiperbólico, sempre analisando as mesmas pelo ponto de vista da Geometria Anal´ıtica. Importante destacar que, em todo esse percurso, procuramos utilizar um tratamento vetorial à Geometria Analítica. E é exatamente nesse ponto que buscamos desenvolver tal atividade. Uma que buscasse construir as isometrias no plano cartesiano utilizando esse ferramental que desenvolvemos na dissertação. Aliada a essa preocupação, utilizamos o aplicativo Geogebra, em sua versão online, para desenvolvermos a mesma. Partimos de uma primeira e básica transformação, a reflexão por uma reta. A atividade em si consistia de, dado um triângulo, em que as coordenadas dos vértices eram conhecidas, obtínhamos a imagem do mesmo pela reflexão. Dispondo então das ferramentas próprias do Geogebra mostrávamos que eram congruentes o triângulo dado bem como sua respectiva imagem pela transformação. Em seguida, dadas duas reflexões por retas paralelas resultava em uma translação pela reta perpendicular comum às retas paralelas. Além disso, foi possível discutir se tais transformações eram, ou não comutativas. Mas o importante, novamente, era que quando um triângulo era submetido a tais transformações, o resultado ainda era um triângulo congruente ao dado. Agora uma composição de duas reflexões por retas concorrentes mostrou que obtínhamos uma rotação ao redor de um ponto, exatamente o ponto de concorrência das retas. E por último a reflexão com deslizamento. Cabe ressaltar que, pela própria estrutura curricular do ensino médio no estado de São Paulo, tal atividade destina-se a alunos do terceiro ano do ensino médio, etapa que contempla em seus conteúdos a Geometria Analítica.

This material presented as an educational product is the result of the Master's Dissertation research entitled Isometries in Euclidean and non-Euclidean Geometries from the point of view of Analytical Geometry, developed in the Professional Master's Program in Mathematics in the National Network, PROFMAT, of the Institute of Geosciences and Exact Sciences of the São Paulo State University "Júlio de Mesquita Filho", UNESP, Rio Claro campus, SP, under the guidance of Prof. Dr. Jamil Viana Pereira. In the dissertation, we investigated the isometries initially in the Euclidean plane, later in the unitary sphere, and finally in the hyperbolic plane, always analyzing them from the point of view of Analytical Geometry. It is important to highlight that, throughout this path, we sought to use a vectorial treatment of Analytical Geometry. And it is exactly at this point that we sought to develop such an activity. One that sought to construct the isometries in the Cartesian plane using this tool that we developed in the dissertation. In addition to this concern, we used the Geogebra application, in its online version, to develop it. We started with a first and basic transformation, reflection by a straight line. The activity itself consisted of, given a triangle, in which the coordinates of the vertices were known, we obtained its image by reflection. Then, using Geogebra's own tools, we showed that the given triangle and its respective image were congruent by the transformation. Next, given two reflections by parallel lines, the result was a translation by the perpendicular line common to the parallel lines. In addition, it was possible to discuss whether or not such transformations were commutative. But the important thing, again, was that when a triangle was subjected to such transformations, the result was still a triangle congruent to the given one. Now a composition of two reflections by concurrent lines showed that we obtained a rotation around a point, exactly the point of concurrence of the lines. And finally, the reflection with sliding. It is worth noting that, due to the curricular structure of secondary education in the state of São Paulo, this activity is intended for students in the third year of secondary education, a stage that includes Analytical Geometry in its content.