Condições relaxadas para estabilidade e estabilização de sistemas não lineares TS utilizando majorantes ótimos da derivada de funções de Lyapunov fuzzy e controladores chaveados

Abstract

Neste trabalho, é formulado um problema de otimização para majorantes de uma função custo, e é apresentada uma solução ótima para esse problema. Após isso, esse resultado é aplicado para a obtenção de condição relaxadas de estabilidade e estabilização para plantas não lineares descritas por modelos fuzzy Takagi-Sugeno (TS), baseadas na Função de Lypaunov Fuzzy (FLF) e nas desigualdades matriciais lineares (do inglês Linear Matrix Inequalities, ou LMIs). A FLF é dada por V(x(t)) = x(t)T P(h(x(t)))x(t), sendo x(t) o vetor de estado da planta, P(h(x(t))) = h1(x(t))P1+h2(x(t))P2+···+hr(x(t))Pr, Pi = PiT > 0 e hi(x(t)) é o peso relacionado ao modelo local i na representação da planta através de modelos fuzzy TS, para i = 1,2,··· ,r. Quando a derivada de V (x(t)) é calculada, aparece o termo x(t)T P˙(h(x(t)))x(t), que normalmente é tratado utilizando-se majorantes conservadores, supondo que os limitantes das derivadas de hi(x(t)), i = 1,2,··· ,r, são conhecidos. O principal resultado desse trabalho é um procedimento para obter majorantes ótimos para o termo x(t)TP˙(h(x(t)))x(t), que contemplem o valor máximo e sejam sempre menores ou iguais do que esse valor máximo. Além disso, é mostrada também a importância de um cálculo exato desses limitantes das derivadas de hi(x(t)), i = 1,2,··· ,r, quando a maioria dos resultados importantes da literatura apenas utilizam valores aleatórios para majorantes que já eram conservativos. Por fim, é proposto, uma vez que esse método de obtenção de um majorante ótimo retorna várias possibilidades de majorantes para termos desconhecidos, que toda essa informação seja associada ao projeto de estabilização em si. Seguindo essa ideia, foram propostos também controladores dependentes dos termos gerados pelo método de obtenção desses majorantes ótimos, através de controladores chaveados, gerando ainda menos conservadorismo na busca por solução do problema.

This work initially proposes an optimization problem and after presents its optimal solution. Then, this result is applied to obtain relaxed conditions to design controllers for nonlinear plants described by Takagi-Sugeno (TS) models, based on fuzzy Lyapunov function (FLF) and Linear Matrix Inequalities (LMI). The FLF are given by V(x(t)) = x(t) TP(α(x(t)))x(t), where x(t) is the plant state vector, P(α(x(t))) = α1(x(t))P1+α2(x(t))P2 + ···+ αr(x(t))Pr , Pi = P T i > 0 and αi(x(t)) is the weight related to the local model i in the representation of the plant by TS fuzzy models, for i = 1,2,··· ,r. When one calculates the time derivative of this V(x(t)), it appears the term x(t) TP˙(α(x(t)))x(t), that is usually handled using conservative upper bounds, supposing that the bounds of the time derivative of αi(x(t)), i = 1,2,··· ,r, are available. The main result of this paper is a procedure to obtain optimal upper bounds for the term x(t) TP˙(α(x(t)))x(t), such that they contemplate the maximum value and are always smaller than or equal to the maximum value. Furthermore, it is also shown the importance of a exact calculation of these bounds of the derivatives of hi(x(t)), i = 1,2,··· ,r, while most of the important results of the literature only utilize random values for these already constraint upper bounds. Finally, it is proposed, once this procedure to obtain these optimal upper bounds utilizes many possibilities for these upper bounds using unknown terms, that all this information gets associated to the stabilization design itself. From this idea, it was also proposed controllers that are dependent from this term generated by this method for these optimal upper bounds, through switched controllers, resulting in even less constraints for search of the solution to the problem.