Análise de sistemas não lineares modelados por uma equação de Duffing via o primeiro método de Lyapunov

Abstract

Este trabalho visa introduzir o estudo de sistemas autônomos bidimensionais: plano de fase, pontos críticos, construção do plano de fase e estudo de estabilidade assintótica, mediante o primeiro método de Lyapunov. A importância das aplicações desses conceitos vão desde o estudo de vibrações naturais, que regem a maioria das atividades humanas, seja na vibração do tímpano para nos proporcionar a audição, até um sistema oscilatório de colheita de energia, como o pêndulo paramétrico. Para realizá-lo, será considerada uma equação de Duffing com uma não linearidade cúbica e uma força externa nula, em que serão obtidos os pontos críticos (ou pontos de equilíbrio) e, através da contraparte linear a determinação, tanto da estabilidade assintótica, quanto da natureza do plano de fase do sistema mediante o primeiro método de Lyapunov. Ressalta-se a importância de pesquisas desta natureza, uma vez que existe amplo interesse da humanidade na obtenção de sistemas de produção de energias alternativas sem os impactos ambientais causados pelas fontes tradicionais baseadas em combustíveis fósseis, nucleares ou hidráulicos. A aplicação dos conceitos adquiridos sobre sistemas dinâmicos, além da colheita de energia, também permite uma gama de aplicações em diversas áreas da engenharia.

This paper aims to introduce the study of two-dimensional autonomous systems: phase plane, critical points, construction of the phase plane and asymptotic stability study, by means of the first Lyapunov method. The importance of the applications of these concepts range from the study of natural vibrations, which govern most human activities as in the vibration of the eardrum to provide us with hearing, to an energyharvesting oscillatory system, such as the parametric pendulum. To accomplish this, a Duffing equation with cubic nonlinearity and na null external force will be considered, where the critical points (or equilibrium points) will be obtained, and, through the linear counterpart, the determination of both the asymptotic stability and the nature of the phase plane of the system by means of the first Lyapunov method. The importance of research of this nature is emphasized, since there is ample interest from humanity in obtaining alternative energy production systems without the environmental impacts caused by traditional sources based on fossil, nuclear, or hydraulic fuels. The application of the concepts acquired about dynamic systems, besides energy harvesting, also allows a range of applications in various areas of engineering.