Da teoria clássica à quântica de campos através da abordagem de Faddeev-Jackiw

Abstract

The advent of analytical mechanics entrenched the existence of two equivalent approaches to systematically study the behavior of a given system, namely, the Lagrangian and Hamiltonian formulations. Later, it was discovered that quantum mechanics could also be expressed in both languages, and therefore the respective quantization procedures commonly adopt one, and only one, of those alternatives. Notwithstanding, it is possible to show that in the Faddeev-Jackiw formulation, the underlying disjunction is not exclusive, since the former provides the necessary tools to develop both quantization alternatives in a unique formalism. This thesis presents a reformulation proposal for the Faddeev-Jackiw approach — in a field theory context — from a functional differential geometry perspective since all the involved objects behave as functionals over the space variables, as a consequence of the space-time foliation. Besides, the formalism is endowed with a $\mathbb{Z}_2-$grading to incorporate pseudoclassical fermionic fields (Grassmannian). Next, it is demonstrated that Darboux's theorem plays the role of a bridge to the path integral formulation, thus reaching the Lagrangian territory. It is worth mentioning that each step of such construction is accompanied by illustrative examples of different versions of electrodynamics, highlighting the model baptized as \textit{Generalized Maxwell-Stückelberg Electrodynamics} (GMSE), which is a second-order theory (à la Podolsky) in which the gauge field is massive, but $U(1)$ gauge freedom is preserved with the help of the Stückelberg mechanism. In addition, it is possible to get the other electromagnetic theories as different limiting cases of GMSE. One of the main features of this model is its finite behavior in the UV regime in the 1-loop approximation, as is shown within this thesis.

O advento da mecânica analítica consolidou a existência de duas abordagens equivalentes para estudar sistematicamente o comportamento de um sistema dado, a saber, as formulações lagrangiana e hamiltoniana. Posteriormente, encontrou-se que a mecânica quântica também pode ser expressa em ambas as linguagens e, portanto, os respectivos procedimentos de quantização costumam adotar alguma, e só alguma, dessas vertentes. Entretanto, é possível mostrar que na formulação de Faddeev-Jackiw a disjunção subjacente não é exclusiva, pois aquela fornece as ferramentas necessárias para desenvolver ambas as alternativas de quantização num formalismo só. Na presente tese é apresentada uma proposta de reformulação para a abordagem de Faddeev-Jackiw — no contexto de uma teoria de campos — da perspectiva da geometria diferencial funcional, uma vez que todos os objetos envolvidos se comportam como funcionais sobre as variáveis espaciais, como consequência da folheação do espaço-tempo. Além disso, o formalismo é munido de um graduamento $\mathbb{Z}_2$ para incorporar campos fermiônicos pseudoclássicos (grassmannianos). Na sequência, é demonstrado que o teorema de Darboux desempenha o papel de ponte para a formulação de integrais de trajetória, tendo assim alcançado o território lagrangiano. Vale mencionar que cada etapa da construção mencionada é acompanhada de exemplos ilustrativos de diferentes versões de eletrodinâmica, destacando-se o modelo batizado como \textit{Eletrodinâmica Generalizada de Maxwell-Stückelberg (EGMS)}, que é uma teoria de segunda ordem (\textit{à la} Podolsky) em que o campo de calibre é massivo, mas a liberdade de calibre $U(1)$ é preservada com ajuda do mecanismo de Stückelberg. Além disso, é possível obter as outras teorias eletromagnéticas como diferentes limites da EGMS. Uma das principais característica desse modelo é o seu comportamento finito no regime UV na aproximação a uma laço, como é mostrado nesta tese.