Sobolev orthogonal polynomials following from coherent pairs of measures of the second kind on the real line

Abstract

O principal objetivo desta tese é estudar os polinômios ortogonais com respeito a uma classe de produtos internos do tipo Sobolev que envolve pares coerentes de medidas de segundo tipo na reta real. As fórmulas de conexão entre a sequência de polinômios ortogonais mônicos com respeito ao produto interno de Sobolev e a sequência de polinômios ortogonais mônicos com respeito a uma das medidas que aparecem no produto interno são amplamente analisadas. Além disso, mostramos que os zeros dos polinômios ortogonais de Sobolev são os autovalores de uma matriz dada através de uma simples modificação de uma conhecida matriz de Jacobi associada a uma das medidas do produto interno de Sobolev. Finalmente, estudamos um exemplo de par coerente de medidas de segundo tipo na reta real no qual umas das medidas é a medida de Jacobi, e possibilita um estudo detalhado dos polinômios e coeficientes de conexão associados.

The main objective in this thesis is to study the orthogonal polynomials with respect to a class of Sobolev-type inner products which follows from coherent pairs of positive measures of the second kind on the real line. The connection formulas involving the sequence of monic orthogonal polynomials with respect to the Sobolev inner product and the sequence of monic orthogonal polynomials with respect to one of the measures that appear in the inner product are thoroughly analyzed. It is also shown that the zeros of the Sobolev orthogonal polynomials are the eigenvalues of a matrix which is a simple modification of a well known Jacobi matrix associated with one of the measures in the Sobolev inner product. Finally, we deal with a special example of a coherent pair of positive measures of the second kind on the real line where one of the measures is the Jacobi measure and it provides a much more detailed analysis of the polynomials and the associated connection coefficients.