Teoremas de Shilnikov e aplicações

Abstract

O trabalho apresenta um estudo detalhado sobre a dinâmica de sistemas diferenciais não lineares, definidos em R^3, que possuem uma órbita homoclínica a um ponto de sela, localizado na origem. Destaca-se o caso em que a órbita é homoclínica a um ponto do tipo sela-foco, para o qual apresentamos uma demonstração detalhada do Teorema de Shilnikov, que garante a ocorrência de comportamento caótico da dinâmica do sistema, numa vizinhança do ponto de equilíbrio. Para demonstração deste resultado, constrói-se uma Aplicação de Poincaré definida em uma seção transversal à órbita homoclínca ao ponto sela-foco, e mostra-se que, numa vizinhança desta órbita a transformação é conjugada a aplicação shift em dois símbolos, herdando assim a dinâmica complexa gerada por esta aplicação. Ressaltamos que este é um dos poucos resultados analíticos utilizados para demonstração de dinâmica caótica em sistemas diferenciais contínuos, possuindo uma demonstração bastante elaborada. No caso de uma órbita homoclínica a um ponto de sela-foco, mostra-se a existência de ciclos limites próximo à órbita homoclínica, utilizando a mesma técnica. Neste caso, o ciclo limite é obtido como um ponto fixo da Aplicação de Poincaré ou utilizando o Teorema de Smale (1963). Por fim, o trabalho explora algumas aplicações práticas dos Teoremas de Shilnikov no estudo de sistemas não lineares com dinâmica caótica.

In this work we present a detailed study of the dynamics of non-linear differential systems defined in R^3, which have an orbit homoclinic to a saddle point, located at the origin. We highlight the case in which the orbit is homoclinic to a saddle-focus point, for which we present a detailed demonstration of Shilnikov’s Theorem, which guarantees the occurrence of chaotic behavior of the system’s dynamics in a neighborhood of the equilibrium point. To demonstrate this result, we construct a Poincaré application defined on a cross-section of the orbit homoclinic to the saddle- focus point, and show that, in a neighborhood of this orbit, the transformation is conjugated to the shift application in two symbols, thus inheriting the complex dynamics generated by this application. Worth noting that this is one of the few analytical results used to demonstrate chaotic dynamics in continuous differential systems, with a very elaborate mathematical demonstration. In the case of a homoclinic orbit to a saddle-focus point, the existence of limit cycles near the homoclinic orbit is shown using the same technique. In this case, the limit cycle is obtained as a fixed point of the Poincaré Map or by using Smale’s Theorem (1963). Finally, the study explores some practical applications of Shilnikov’s Theorems in the analysis of nonlinear systems with chaotic dynamics.