Introdução ao cálculo fracionário: motivações, definições e exemplos

Abstract

A proposta do presente trabalho é realizar uma introdução à teoria do cálculo fracionário, ou cálculo de ordem arbitrária, através de um texto acessível. Neste contexto, serão exploradas a integral fracionária segundo Riemann-Liouvile e as definições de três derivadas fracionárias clássicas: a de Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville e Caputo. Inicialmente, revisar alguns princípios básicos do Cálculo Diferencial e Integral de ordem inteira. Em seguida, através de motivações, contextualizações históricas e exemplos, abor dar os conceitos fundamentais que formam a base dessa teoria. Posteriormente, mostrar dois critérios de validade para as derivadas fracionárias e verificar que o de Ortigueira e Machado é satisfeito para as derivadas de Riemann-Liouville e Caputo. Por fim, apresen tar a Regra da Cadeia para as derivadas de Riemann-Liouvile e Caputo.

The purpose of this work is to make an introduction to the theory of fractional cal culus, or calculus of arbitrary order, through an accessible text. In this context, the fractional integral according to Riemann-Liouvile and the definitions of three classic fractional derivatives will be explored: that of Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville and Caputo. Initially, review some basic principles of Differential and Integral Calculus of integer order. Then, through motivations, historical contexts and examples, address the fundamental concepts that form the basis of this theory. Subsequently, show two validity criteria for the fractional derivatives and verify that Ortigueira and Machado’s is satisfied for the Riemann-Liouville and Caputo derivatives. Finally, present the Chain Rule for Riemann-Liouvile and Caputo derivatives.