O Teorema da Incompletude de Gödel em cursos de Licenciatura em Matemática

Página do item simplificado
dc.contributor.advisorBicudo, Maria Aparecida Viggiani [UNESP]
dc.contributor.advisorLazari, Henrique [UNESP]
dc.contributor.authorBatistela, Rosemeire de Fátima [UNESP]
dc.contributor.institutionUniversidade Estadual Paulista (Unesp)
dc.date.accessioned2017-02-15T16:56:58Z
dc.date.available2017-02-15T16:56:58Z
dc.date.issued2017-02-02
dc.description.abstractApresentamos nesta tese uma proposta de inserção do tema teorema da incompletude de Gödel em cursos de Licenciatura em Matemática. A interrogação norteadora foi: como sentidos e significados do teorema da incompletude de Gödel podem ser atualizados em cursos de Licenciatura em Matemática? Na busca de elaborarmos uma resposta para essa questão, apresentamos o cenário matemático presente à época do surgimento deste teorema, expondo-o como a resposta negativa para o projeto do Formalismo que objetivava formalizar toda a Matemática a partir da aritmética de Peano. Além disso, trazemos no contexto, as outras duas correntes filosóficas, Logicismo e Intuicionismo, e os motivos que impossibilitaram o completamento de seus projetos, que semelhantemente ao Formalismo buscaram fundamentar a Matemática sob outras bases, a saber, a Lógica e os constructos finitistas, respectivamente. Assim, explicitamos que teorema da incompletude de Gödel aparece oferecendo resposta negativa à questão da consistência da aritmética, que era um problema para a Matemática na época, estabelecendo uma barreira intransponível para a demonstração dessa consistência, da qual dependia o sucesso do Formalismo e, consequentemente, a fundamentação completa da Matemática no ideal dos formalistas. Num segundo momento, focamos na demonstração deste teorema expondo-a em duas versões distintas, que para nós se nos mostraram apropriadas para serem trabalhadas em cursos de Licenciatura em Matemática. Uma, como possibilidade de conduzir o leitor pelos meandros da prova desenvolvida por Gödel em 1931, ilustrando-a, bem como, as ideias utilizadas nela, aclarando a sua compreensão. Outra, como opção que valida o teorema da incompletude apresentando-o de maneira formal, portanto, com endereçamentos e objetivos distintos, por um lado, a experiência com a numeração de Gödel e a construção da sentença indecidível, por outro, com a construção formal do conceito de método de decisão de uma teoria. Na sequência, apresentamos uma discussão focada na proposta de Bourbaki para a Matemática, por compreendermos que a atitude desse grupo revela a forma como o teorema da incompletude de Gödel foi acolhido nessa ciência e como ela continuou após este resultado. Nessa exposição aparece que o grupo Bourbaki assume que o teorema da incompletude não impossibilita que a Matemática prossiga em sua atividade, ele apenas sinaliza que o aparecimento de proposições indecidíveis, até mesmo na teoria dos números naturais, é inevitável. Finalmente, trazemos a proposta de como atualizar sentidos e significados do teorema da incompletude de Gödel em cursos de Licenciatura em Matemática, aproximando o tema de conteúdos agendados nas ementas, propondo discussão de aspectos desse teorema em diversos momentos, em disciplinas que julgamos apropriadas, culminando no trabalho com as duas demonstrações em disciplinas do último semestre do curso. A apresentação é feita tomando como exemplar um curso de Licenciatura em Matemática. Consideramos por fim, a importância do trabalho com um resultado tão significativo da Lógica Matemática que requer atenção da comunidade da Educação Matemática, dado que as consequências deste teorema se relacionam com a concepção de Matemática ensinada em todos os níveis escolares, que, muito embora não tenham relação com conteúdos específicos, expõem o alcance do método de produção da Matemática.pt
dc.description.abstractIn this thesis we present a proposal to insert Gödel's incompleteness theorem in Mathematics Education undergraduate courses. The main research question guiding this investigation is: How can the senses and meanings of Gödel's incompleteness theorem be updated in Mathematics Education undergraduate courses? In answering the research question, we start by presenting the mathematical scenario from the time when the theorem emerged; this scenario proposed a negative response to the project of Formalism, which aimed to formalize all Mathematics based upon Peano’s arithmetic. We also describe Logicism and Intuitionism, focusing on reasons that prevented the completion of these two projects which, in similarly to Formalism, were sought to support mathematics under other bases of Logic and finitists constructs. Gödel's incompleteness theorem, which offers a negative answer to the issue of arithmetic consistency, was a problem for Mathematics at that time, as the Mathematical field was passing though the challenge of demonstrating its consistency by depending upon the success of Formalism and upon the Mathematics’ rationale grounded in formalists’ ideal. We present the proof of Gödel's theorem by focusing on its two different versions, both being accessible and appropriate to be explored in Mathematics Education undergraduate courses. In the first one, the reader will have a chance to follow the details of the proof as developed by Gödel in 1931. The intention here is to expose Gödel’ ideas used at the time, as well as to clarify understanding of the proof. In the second one, the reader will be familiarized with another proof that validates the incompleteness theorem, presenting it in its formal version. The intention here is to highlight Gödel’s numbering experience and the construction of undecidable sentence, and to present the formal construction of the decision method concept from a theory. We also present a brief discussion of Bourbaki’s proposal for Mathematics, highlighting Bourbaki’s group perspective which reveals how Gödel’s incompleteness theorem was important and welcome in science, and how the field has developed since its result. It seems to us that Bourbaki’s group assumes that the incompleteness theorem does not preclude Mathematics from continuing its activity. Thus, from Bourbaki’s perspective, Gödel’s incompleteness theorem only indicates the arising of undecidable propositions, which are inevitable, occurring even in the theory of natural numbers. We suggest updating the senses and the meanings of Gödel's incompleteness theorem in Mathematics Education undergraduate courses by aligning Gödel's theorem with secondary mathematics school curriculum. We also suggest including discussion of this theorem in different moments of the secondary mathematics school curriculum, in which students will have elements to build understanding of the two proofs as a final comprehensive project. This study contributes to the literature by setting light on the importance of working with results of Mathematical Logic such as Gödel's incompleteness theorem in secondary mathematics courses and teaching preparation. It calls the attention of the Mathematical Education community, since its consequences are directly related to the design of mathematics and how it is being taught at all grade levels. Although some of these mathematics contents may not be related specifically to the theorem, the understanding of the theorem shows the broad relevance of the method in making sense of Mathematics.en
dc.identifier.aleph000880323
dc.identifier.capes33004137031P7
dc.identifier.lattes3004627725411118
dc.identifier.lattes1432728078910527
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11449/148797
dc.language.isopor
dc.publisherUniversidade Estadual Paulista (Unesp)
dc.rights.accessRightsAcesso aberto
dc.subjectTeorema da Incompletude de Gödel (TIG)pt
dc.subjectEducação matemáticapt
dc.subjectLicenciatura em matemáticapt
dc.subjectFilosofia da matemáticapt
dc.subjectMétodo axiomáticopt
dc.subjectFenomenologiapt
dc.subjectGödel’s Incompleteness Theoremen
dc.subjectMathematics educationen
dc.subjectSecondary mathematics coursesen
dc.subjectTeaching preparationen
dc.subjectMathematical proofsen
dc.subjectPhilosophy of mathematicsen
dc.subjectAxiomatic methoden
dc.subjectPhenomenologyen
dc.titleO Teorema da Incompletude de Gödel em cursos de Licenciatura em Matemáticapt
dc.title.alternativeThe Gödel's incompleteness theorem in Mathematics Education undergraduate coursesen
dc.typeTese de doutorado
unesp.author.lattes3004627725411118
unesp.author.lattes1432728078910527
unesp.campusUniversidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claropt
unesp.embargoOnlinept
unesp.graduateProgramEducação Matemática - IGCEpt
unesp.knowledgeAreaEnsino e Aprendizagem da matemática e seus Fundamentos Filosófico-Científicospt
unesp.researchAreaFilosofia e Epistemologia na Educação Matemática

Arquivos

Pacote Original
Agora exibindo 1 - 1 de 1
Imagem de Miniatura
Nome:
batistela_rf_dr_rcla.pdf
Tamanho:
2.16 MB
Formato:
Adobe Portable Document Format
Descrição:
Baixar
Licença do Pacote
Agora exibindo 1 - 1 de 1
Nenhuma Miniatura disponível
Nome:
license.txt
Tamanho:
2.98 KB
Formato:
Item-specific license agreed upon to submission
Descrição:

Coleções

Teses - Educação Matemática - IGCE