Propriedades dinâmicas em mapeamentos bidimensionais: aplicações em um guia de ondas periodicamente corrugado

Abstract

Motivated by the growing interest in the study of nonlinear dynamics and chaotic models, in this work we will consider a family of two-dimensional nonlinear mappings that illustrate the dynamics behavior that recovers numerous known problems in different areas such as chemistry, physics, astronomy, mathematics and engineering. When we describe the mapping in the moment and angle variables we can retrieve the model known as corrugated waveguide that describe a beam of light reflected between two mirrors, one of which is smooth and the other is corrugated. Having defined the model, we construct the phase space that illustrates the dynamics of the system, we investigate analytically the position of the first invariant spanning curve in the transition from global chaos to local chaos, using a connection to the standard map. We introduce dissipation into the system and use the Lyapunov exponents to characterize the chaos. From the calculation of the Lyapunov exponents we construct the space of parameters and investigate the periodicity windows in order to analyze the behavior of the periodic structures known as shrimp.

Motivados pelo crescente interesse do estudo de dinâmica não linear e modelos caóticos, neste trabalho consideramos uma família de mapeamentos não lineares bidimensionais, que ilustram o comportamento da dinâmica que recupera inúmeros problemas conhecidos em diferentes áreas, como química, física, astronomia, matemática e engenharia. Quando descrevemos o mapeamento nas variáveis momento e ângulo podemos recuperar o modelo conhecido como guia de ondas corrugado, de acordo com a escolha das variáveis e parâmetros de controle que descreve um feixe de luz refletido entre dois espelhos, sendo um deles liso e o outro corrugado. Definido o modelo, construímos o espaço de fases que ilustra a dinâmica do sistema, investigamos analiticamente a posição da primeira curva invariante spanning na transição de caos global para caos local, utilizando uma conexão com o mapa padrão. Introduzimos dissipação no sistema e utilizamos os expoentes de Lyapunov para caracterizar o caos. A partir do cálculo dos expoentes de Lyapunov construímos o espaço de parâmetros e investigamos as janelas de periodicidade com o intuito de analisar o comportamento das estruturas periódicas conhecidas como camarões.