Sistemas quânticos confinados: potenciais delta entre paredes impenetráveis

Abstract

No presente trabalho, lidamos com a equação de Schrödinger independente do tempo com interações expressas por combinações de potenciais delta. Esses modelos relativamente simples, nos permiti- ram prever o desdobramento do nível de energia do estado fundamental na formação de moléculas diatômicas, bem como o fato de que uma partícula sujeita à molécula diatômica ionizada, é mais estável que quando sujeita a um átomo monoeletrônico isolado, isto é, dois potenciais delta geram um estado de energia mais baixa que um potencial delta isolado. Ainda, levando em conta o crescente interesse na fabricação e investigação de semicondutores e também o confinamento relativamente recente de átomos e moléculas em cadeias de fulereno, para entender os efeitos no espectro advindos do confinamento, sujeitamos cada uma das interações à paredes impenetráveis (emuladas por condições homogêneas de Dirichilet onde as paredes se localizam). Vale destacar que para determinar as funções de onda nos sistemas confinados, utilizamos o método de expansão em funções características, e tendo em vista que a equação de Schrödinger com potencial expresso por funções delta tem solução exata, tal método nos possibilitou encontrar formas fechadas para seis séries trigonométricas e uma série logarítmica, formas estas que poderiam ser introduzidas na literatura. Além disso, analisando os limites de forte acoplamento em cada uma das situações, expomos as conjecturas necessárias para ocorrer a transgressão do teorema da não degenerescência em uma dimensão para estados ligados, bem como as justificativas para tal transgressão, mais ainda, conseguimos classificar os possíveis cenários que podem invalidar o teorema em questão.

In the present assignment, we deal with the time-independent Schrödinger equation with interactions given by combinations of delta potentials. These relative simple models, allow us to predict the split of the energy level from the fundamental state in the formation of diatomic molecules, also with these model we show that the particle subject to an ionized diatomic molecule, it is more stable that when subjected to an isolated monoelectron atom, in other words, the combination of two delta potentials create a state with a lower energy then one delta potential. Still, taking into account the growing interest in fabrication and research of semiconductor and also the recent confinement of atoms and molecules in fullerene, to understand the effects on the spectrum from the confinement, we subject each of the interactions to impenetrable walls (emulated by homogeneous Dirichilet conditions where the walls are located). It is worth noting that to determine the wave functions in the confined systems, we use the method of expansion in characteristic functions, and considering that the Schrödinger equation with the potential energy expressed by delta function has exact solution, this method allowed us to find closed forms for six trigonometric series and a logarithmic serie, which could be introduced in the literature. Furthermore, by analyzing the strong coupling limits in each of the situations, we expose the necessary conjectures for the transgression of the non-degeneracy theorem in one dimension for bound states, as well as the justifications for such transgression, in addition, we can classify the possible scenarios that may invalidate the theorem it self