THE npx CHART: when the parameters are known and unknown

Abstract

Control charts are powerful tools used by many industries to monitor some quality characteristics and detect special causes of variation. If it is impractical to numerically represent the quality characteristic, attribute control charts, such as the np chart, are often used to monitor the number of nonconforming units. Attribute control charts are considered simpler, faster, and cheaper than variable control charts (such as the X chart) because they do not require the measurement of some quality characteristic; instead, professionals only need to count the number of nonconforming units in a sample. For this reason, the np control chart is also used to monitor not only the number of nonconforming units, but also the process average. The npx control chart was introduced by Wu et al. (2009) (WU et al.,2009) to monitor the mean of a continuous variable using attribute inspection. The authors evaluated the performance of the npx graph without considering the practical case where the parameters (suchas p), necessary to calculate the control limits, must be estimated. The present work focuses on evaluating the performance of the npx control chart when the parameters are estimated. Despite the initial fascination of the npx chart for its perceived advantages over variable control charts–such as simplicity, speed and cost-effectiveness – inconsistencies in the results presented by Wu et al. (2009) (WU et al.,2009) are revealed. By addressing these inconsistencies, we offer alternative insights into the effectiveness of the npx graph. Through an extensive investigation, involving derivations and numerical analysis, the scenarios in which the bilateral and unilateral npx graphs outperform the X graph were determined. With this background, now with the corrected npx graph, the impacts on parameter estimation were analyzed in detail. It was found that performance is affected mainly when the standard deviation of the process is estimated (cases KU and UU), presenting itself significantly different from what is nominally expected if the estimation of the parameters is not taken into account in the design of the graph. The number of reference samples needed to mitigate this effect makes the application of the npx graph unfeasible. Therefore, adjustments to the UCL and kw parameters are necessary.Such adjustments were investigated and proved to be efficient, enabling the npx graph to offer equal or better performance to the X graph using numbers of usual reference samples. This work contributes significantly to a more nuanced understanding of the comparative advantages of different control chart methodologies, for variable and attribute data.

As cartas de controle são ferramentas poderosas usadas por muitas indústrias para monitorar algumas características de qualidade e detectar causas especiais de variação. Se for impraticável representar numericamente a característica de qualidade, gráficos de controle de atributos, como o gráfico np, são frequentemente usados para monitorar o número de unidades não conformes. As cartas de controle de atributos são consideradas mais simples, rápidas e baratas do que as cartas de controle variáveis (como o gráfico X) porque não exigem a medição de alguma característica de qualidade; em vez disso, os profissionais só precisam contar o número de unidades não conformes em uma amostra. Por esse motivo, o gráfico de controle np também é utilizado para monitorar não apenas o número de unidades não conformes, mas também a média do processo. O gráfico de controle npx foi introduzido por Wu et al. (2009)(WU et al., 2009) para monitorar a média de uma variável contínua usando inspeção de atributos. Os autores avaliaram o desempenho do gráfico npx sem considerar o caso prático onde os parâmetros (como p), necessários para calcular os limites de controle, devem ser estimados. O presente trabalho tem como foco a avaliação de desempenho do gráfico de controle npx quando os parâmetros são estimados. Apesar do fascínio inicial do gráfico npx pelas suas vantagens percebidas sobre os gráficos de controle variável – como simplicidade, velocidade e custo-benefício – inconsistências nos resultados apresentados por Wu et al. (2009)(WU et al., 2009) são reveladas. Ao abordar essas inconsistências, oferecemos insights alternativos sobre a eficácia do gráfico npx. Através de uma extensa investigação, envolvendo derivações e análise numérica, foram determinados os cenários em que os gráficos npx bilaterais e unilaterais superam o gráfico X. Com esse pano de fundo, agora com o gráfico npx corrigido, foram detalhadamente analisados os impactos na estimação dos parâmetros. Verificou-se que o desempenho é afetado principalmente quando o desvio padrão do processo é estimado (casos KU e UU) apresentando-se significativamente diferente do que é nominalmente esperado se a estimação dos parâmetros não for levada em consideração na concepção do gráfico. O número de amostras de referência necessárias para atenuar esse efeito torna a aplicação do gráfico npx inviável. Dessa forma, ajustes no parâmetros UCL e kw se fazem necessários, tais ajustes foram investigados e mostraram-se eficientes, possibilitando que o gráfico npx ofereça desempenho igual ou melhor ao gráfico X utilizando números de amostras de referência usuais. Esta trabalho contribui significativamente para uma compreensão mais matizada das vantagens comparativas de diferentes metodologias de gráficos de controle, para dados de variáveis e atributos.