Comparação de operadores diferenciais e aplicações

Abstract

Neste trabalho usamos a transformada de Fourier e alguns resultados abstratos sobre operadores fechados para definir operador maximal e operador minimal associados a um operador diferencial parcial linear com coeficientes constantes. Provamos a sobrejetividade do operador maximal, o que equivale à existência de soluçőes fracas de quadrado integrável num domínio limitado, para a equação diferencial correspondente. Estudamos a noção comparação de operadores diferenciais segundo Lars Hörmander estabelecendo uma condição necessária e suficiente para comparar dois operadores diferenciais. A título de aplicação mostramos como as desigualdades de comparação entre operadores permitem definir traços, localmente de quadrado integrável em hiperplanos, para soluções de algumas equaçőes diferenciais parciais.

In this work we use the Fourier transform and some abstract results about closed operators to define maximal operator and minimal operator associated with a linear partial differential operator with constant coefficients. We prove the surjectivity of the maximal operator, which is equivalent to the existence of weak integrable square solutions in a bounded domain, for the corresponding differential equation. We study the notion of comparison of differential operators according to Lars Hormander, establishing a necessary and sufficient condition to compare two differential operators. As an application, we show how the inequalities of comparison between operators allow us to define locally square integrable traces on hyperplanes, for solutions of some partial differential equations.